Questão 2:
Se
e
forem constantes positivas, mostre que todas as soluções de
tendem a zero quando
.
Se
Passo 1
O enunciado fornece que
são constantes positivas e pede para mostrar que todas as soluções da equação diferencial homogênea de segunda ordem
tendem a zero quando
.
Informações relevantes dadas:
-
, , . - A função
é solução da equação linear homogênea de segunda ordem indicada. - A pergunta é: mostrar que para toda solução
vale .
Passo 2
Motivo e método: para equações lineares com coeficientes constantes da forma
procura-se soluções-exponenciais da forma
. Substituindo essa forma na equação obtém-se a equação característica (polinomial) em
. Esta é a ideia básica porque derivadas de
produzem fatores
que transformam a EDO numa equação algébrica.
Substituindo
em
e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática em
usando a fórmula de Bhaskara obtemos as raízes
Como
e
, a soma das raízes é
e o produto das raízes é
. Em particular, a parte real de cada raiz é negativa (veremos as três possibilidades separadamente). A forma geral da solução depende do discriminante
, e vamos examinar os três casos.
Passo 4
Caso 1 —
(raízes reais distintas).
As raízes
e
são reais e distintas. A solução geral é
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Pelo que observamos na fórmula das raízes, como
e
ambas as raízes satisfazem
e
(porque
tem numerador negativo para ambos os sinais quando
e
). Então cada termo
tende a zero quando
. Assim qualquer combinação linear
também tende a zero, logo
.
Passo 5
Caso 2 —
(raiz real dupla).
Aqui
. A solução geral é
Note que
. Precisamos mostrar que
para quaisquer constantes
. Basta verificar o comportamento do fator
quando
. Seja
; então
Aplicando a regra de L’Hôpital (numerador e denominador tendem a infinito/infinitamente grande na forma apropriada), temos
Portanto
, e também
; assim
. Logo
.
Passo 6
Caso 3 —
(raízes complexas conjugadas).
Então as raízes são
com
onde
porque
. A solução real geral é
Aqui
é um fator exponencial com
, portanto
quando
. A parte oscilatória
permanece limitada (é combinação linear de seno e cosseno), logo o produto com
tende a zero. Assim
.
Passo 7
Conclusão/unificação: em todas as três possibilidades para as raízes da equação característica (reais distintas, real dupla ou complexas conjugadas) a parte real das raízes é negativa porque
. Consequentemente a solução geral é sempre uma combinação de termos da forma
com
e
equal a
ou
, ou de termos
multiplicando funções oscilatórias limitadas, com
. Em todos os casos esses termos vão a zero quando
. Portanto toda solução
satisfaz