Questão 2:
Se a, b e c forem constantes positivas, mostre que todas as soluções de a y+b y+c y=0 tendem a zero quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado fornece que a,b,c são constantes positivas e pede para mostrar que todas as soluções da equação diferencial homogênea de segunda ordem
a\,y''+b\,y'+c\,y=0
tendem a zero quando t\rightarrow\infty.
Informações relevantes dadas:
  • a>0, b>0, c>0.
  • A função y=y(t) é solução da equação linear homogênea de segunda ordem indicada.
  • A pergunta é: mostrar que para toda solução y(t) vale \lim_{t\to\infty} y(t)=0.

Passo 2

Motivo e método: para equações lineares com coeficientes constantes da forma a\,y''+b\,y'+c\,y=0 procura-se soluções-exponenciais da forma y(t)=e^{r t}. Substituindo essa forma na equação obtém-se a equação característica (polinomial) em r. Esta é a ideia básica porque derivadas de e^{r t} produzem fatores r que transformam a EDO numa equação algébrica.
Substituindo y(t)=e^{r t} em a\,y''+b\,y'+c\,y=0 e dividindo por e^{r t} (que nunca é zero) obtemos a equação característica
a r^{2} + b r + c = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática em r usando a fórmula de Bhaskara obtemos as raízes
r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Como a>0 e b>0, a soma das raízes é -\dfrac{b}{a}<0 e o produto das raízes é \dfrac{c}{a}>0. Em particular, a parte real de cada raiz é negativa (veremos as três possibilidades separadamente). A forma geral da solução depende do discriminante \Delta=b^{2}-4ac, e vamos examinar os três casos.

Passo 4

Caso 1 — \Delta>0 (raízes reais distintas).
As raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas. A solução geral é
y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
onde C_{1},C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais. Pelo que observamos na fórmula das raízes, como b>0 e a>0 ambas as raízes satisfazem r_{1}<0 e r_{2}<0 (porque \dfrac{-b\pm\sqrt{\cdot}}{2a} tem numerador negativo para ambos os sinais quando b>0 e a>0). Então cada termo e^{r_{i}t} tende a zero quando t\to\infty. Assim qualquer combinação linear C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t} também tende a zero, logo \lim_{t\to\infty}y(t)=0.

Passo 5

Caso 2 — \Delta=0 (raiz real dupla).
Aqui r_{1}=r_{2}=r=-\dfrac{b}{2a}. A solução geral é
y(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{r t}.
Note que r=-\dfrac{b}{2a}<0. Precisamos mostrar que \lim_{t\to\infty} (C_{1}+C_{2}t)e^{r t}=0 para quaisquer constantes C_{1},C_{2}. Basta verificar o comportamento do fator t e^{r t} quando r<0. Seja s=-r>0; então
t e^{r t}=t e^{-s t}=\frac{t}{e^{s t}}.
Aplicando a regra de L’Hôpital (numerador e denominador tendem a infinito/infinitamente grande na forma apropriada), temos
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^{s t}}=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{s e^{s t}}=0.
Portanto t e^{r t}\to0, e também e^{r t}\to0; assim (C_{1}+C_{2}t)e^{r t}\to0. Logo \lim_{t\to\infty}y(t)=0.

Passo 6

Caso 3 — \Delta<0 (raízes complexas conjugadas).
Então as raízes são
r_{1,2}=\alpha\pm i\beta,
com
\alpha=-\frac{b}{2a}\quad\text{e}\quad \beta=\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a},
onde \alpha<0 porque b>0,\,a>0. A solução real geral é
y(t)=e^{\alpha t}\bigl(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\bigr).
Aqui e^{\alpha t} é um fator exponencial com \alpha<0, portanto e^{\alpha t}\to0 quando t\to\infty. A parte oscilatória \bigl(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\bigr) permanece limitada (é combinação linear de seno e cosseno), logo o produto com e^{\alpha t} tende a zero. Assim \lim_{t\to\infty}y(t)=0.

Passo 7

Conclusão/unificação: em todas as três possibilidades para as raízes da equação característica (reais distintas, real dupla ou complexas conjugadas) a parte real das raízes é negativa porque b>0,\,a>0. Consequentemente a solução geral é sempre uma combinação de termos da forma t^{k}e^{r t} com r<0 e k equal a 0 ou 1, ou de termos e^{\alpha t} multiplicando funções oscilatórias limitadas, com \alpha<0. Em todos os casos esses termos vão a zero quando t\to\infty. Portanto toda solução y(t) satisfaz
\lim_{t\to\infty} y(t)=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=0

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