41-46 Se
for crescente em um intervalo
, segue da Definição 4.1.1 que
com qualquer
do intervalo
. Use esse resultado nesses exercícios.
41. Mostre que
se
e confirme a desigualdade com algum recurso gráfico computacional. [Sugestão: Mostre que
é crescente em
.]
41. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para
, usando a ideia de que se uma função
é crescente em um intervalo com início em zero, então
para
. Vamos aplicar isso definindo a função sugerida e investigando sua derivada.
Passo 2
Definimos
Calculamos a derivada para ver onde
é crescente. Como
,
Passo 3
Para
temos
, logo
$$f’(x)=\tfrac{1}{3}\Bigl(1-(1+x)^{-2/3}\Bigr)>0.
$$ Isso mostra que
é estritamente crescente em
. Como
, pela monotonicidade segue
para todo
, ou seja
$$1+\tfrac{1}{3}x-\sqrt[3]{1+x}>0
$$
que é exatamente .
que é exatamente
Passo 4
Para confirmar graficamente, basta traçar em algum software (GeoGebra, Desmos etc.) as curvas
e
e observar que a reta fica sempre acima da raiz para
.