41-46 Se f for crescente em um intervalo [0, b), segue da Definição 4.1.1 que f(0) com qualquer x do intervalo (0, b). Use esse resultado nesses exercícios.
41. Mostre que raiz[3]1+x<1+13 x se x>0 e confirme a desigualdade com algum recurso gráfico computacional. [Sugestão: Mostre que f(x)=1+13 x-raiz[3]1+x é crescente em [0,+infty).]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que raiz[3]1+x<1+tfrac13x para x>0, usando a ideia de que se uma função f é crescente em um intervalo com início em zero, então f(x)>f(0) para x>0. Vamos aplicar isso definindo a função sugerida e investigando sua derivada.

Passo 2

Definimos f(x)=1+tfrac13x-raiz[3]1+x Calculamos a derivada para ver onde f é crescente. Como raiz[3]1+x=(1+x)^1/3,
f'(x)=tfracddxl(1+tfrac13xr)-tfracddx(1+x)^1/3 =tfrac13-tfrac13(1+x)^-2/3

Passo 3

Para x>0 temos (1+x)^-2/3<1, logo
$$f’(x)=\tfrac{1}{3}\Bigl(1-(1+x)^{-2/3}\Bigr)>0.
$$ Isso mostra que f'(x)=tfrac13l(1-(1+x)^-2/3r)>0 é estritamente crescente em f. Como [0,+infty), pela monotonicidade segue f(0)=1+0-1=0 para todo f(x)>0, ou seja
$$1+\tfrac{1}{3}x-\sqrt[3]{1+x}>0
$$
que é exatamente x>0.

Passo 4

Para confirmar graficamente, basta traçar em algum software (GeoGebra, Desmos etc.) as curvas y=raiz[3]1+x e y=1+tfrac13x e observar que a reta fica sempre acima da raiz para x>0.

Resposta

raiz[3]1+x<1+tfrac13x para todo x>0.

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