Qual a equação da reta tangente à curva y^3+y x^2+x^2-3 y^2=0 no ponto (1,1) ?
(A) y=2 x-1
(b) y=2 x+1
© y=x-1
(d) y=-x+1
(e) NRA

Passo 1

O exercício pede a reta tangente à curva dada implicitamente por y^3 + y x^2 + x^2 - 3y^2 = 0 no ponto (1,1). Vamos usar diferenciação implícita para achar dydx e depois montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, derivamos cada termo da equação em relação a x, lembrando que y é função de x. Usamos regra da cadeia em y^3 e y^2, e regra do produto em y x^2:
ddx(y^3) + ddx(y x^2) + ddx(x^2) - ddx(3y^2) = 0
Aplicando as regras:
$$
3y^{2} \frac{dy}{dx} + \bigl(x^{2} \frac{dy}{dx} + y \cdot 2x\bigr) + 2x - 6y \frac{dy}{dx} = 0
$$

Passo 3

Agora agrupamos os termos com dydx de um lado e os outros do outro:
dydx(3y^2 + x^2 - 6y) + 2x y + 2x = 0
Isolando dydx:
dydx = -2x(y+1)3y^2 + x^2 - 6y

Passo 4

Avaliamos em (x,y) = (1,1):
dydx|(1,1) = -2cdot1(1+1)3cdot1^2 + 1^2 - 6cdot1 = -43 + 1 - 6 = -4-2 = 2
Como inclinação é m=2, usamos a forma ponto-inclinação:
$$
y - 1 = 2(x - 1)
y - 1 = 2(x - 1) í
y = 2x - 2 + 1 = 2x - 1
$$

Resposta

y = 2x - 1

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