Resolva os exercícios a seguir por separação de variáveis:
d yd x=y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dydx=y^2 por separação de variáveis. O conteúdo é EDO de variável separável, e vamos usar integração em ambos os lados após separar y de x.

Passo 2

Reescrevemos a equação de forma a agrupar termos em y de um lado e em x do outro. Dividindo por y^2 (supondo yneq0) e multiplicando por dx obtemos a separação:
dyy^2=dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy=integral 1,dx
No lado esquerdo usamos a regra integral y^n,dy=y^n+1n+1 para nneq-1.

Passo 4

Fazendo a integração:
y^-1-1=x+C
Ou seja,
-y^-1=x+C

Passo 5

Isolamos y:
y^-1=-(x+C)
y=-1x+C
Renomeando a constante (por exemplo C'=-C), fica
y=1C'-x
Não podemos esquecer da solução trivial y=0, que também satisfaz a equação original sem precisar separar variáveis.

Passo 6

Resposta

Soluções gerais:
y(x)=,-\frac{1}{x+C}; (C constante de integração)
ou, equivalentemente, y(x)=\frac{1}{C’-x};
além da solução trivial y(x)=0.

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