Resolva os exercícios a seguir por separação de variáveis:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por separação de variáveis. O conteúdo é EDO de variável separável, e vamos usar integração em ambos os lados após separar
de
.
Passo 2
Reescrevemos a equação de forma a agrupar termos em
de um lado e em
do outro. Dividindo por
(supondo
) e multiplicando por
obtemos a separação:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
No lado esquerdo usamos a regra
Passo 4
Fazendo a integração:
Ou seja,
Passo 5
Isolamos
:
Renomeando a constante (por exemplo
Não podemos esquecer da solução trivial
, que também satisfaz a equação original sem precisar separar variáveis.
Passo 6
Resposta
Soluções gerais:
y(x)=,-\frac{1}{x+C}; (C constante de integração)
ou, equivalentemente, y(x)=\frac{1}{C’-x};
além da solução trivial y(x)=0.
y(x)=,-\frac{1}{x+C}; (C constante de integração)
ou, equivalentemente, y(x)=\frac{1}{C’-x};
além da solução trivial y(x)=0.