41 Se w=\cos (x+y)+\cos (x-y) mostre, sem u fórmulas de adição, que w_{x x}-w_{y y}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função w=\cos(x+y)+\cos(x-y) e pede para mostrar que w_{x x}-w_{y y}=0 sem usar fórmulas de adição para o cosseno.
Informações importantes fornecidas:
  • A função explícita \,w=\cos(x+y)+\cos(x-y)\,.
  • O que se deve provar: a diferença entre as derivadas parciais de segunda ordem \,w_{x x} e \,w_{y y}\, é zero.

Passo 2

Explicação da ferramenta principal: regra da cadeia para derivadas parciais.
Se F(x,y)=\cos(h(x,y)), então, ao derivar em relação a x,
\frac{\partial}{\partial x}\cos(h(x,y))=-\sin(h(x,y))\cdot\frac{\partial h}{\partial x}.
Aqui \sin(h(x,y)) é a derivada de \cos avaliada em h e \dfrac{\partial h}{\partial x} é a derivada parcial do argumento. Exemplo simples: para f(x)=\cos(3x+2y) tem-se \dfrac{\partial f}{\partial x}=-3\sin(3x+2y) porque \dfrac{\partial}{\partial x}(3x+2y)=3.

Passo 3

Introduzir notação auxiliar para clareza: defina \,u=x+y e \,v=x-y. Assim
w=\cos(u)+\cos(v).
Calcule as derivadas parciais de u e v:
\frac{\partial u}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial v}{\partial x}=1.
Agora aplique a regra da cadeia para obter \,w_x:
w_x=\frac{\partial}{\partial x}\cos(u)+\frac{\partial}{\partial x}\cos(v) =-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}-\sin(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo \dfrac{\partial u}{\partial x}=1 e \dfrac{\partial v}{\partial x}=1 resulta
w_x=-\sin(u)-\sin(v).
Voltando a x,y:
w_x=-\sin(x+y)-\sin(x-y).

Passo 4

Calcule \,w_{x x} derivando \,w_x em relação a x. Use novamente a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\sin(u)\bigr)=-\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=-\cos(u),
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\sin(v)\bigr)=-\cos(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial x}=-\cos(v).
Somando,
w_{x x}=-\cos(u)-\cos(v).
Voltando a x,y (substituindo u e v):
w_{x x}=-\cos(x+y)-\cos(x-y).

Passo 5

Agora calcule \,w_y. Primeiro as derivadas parciais de u e v em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-1.
Aplicando a regra da cadeia em w=\cos(u)+\cos(v):
w_y=-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}-\sin(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial y} =-\sin(u)-\sin(v)\cdot(-1).
Portanto
w_y=-\sin(u)+\sin(v),
ou seja
w_y=-\sin(x+y)+\sin(x-y).

Passo 6

Calcule \,w_{y y} derivando \,w_y em relação a y. Novamente a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\sin(u)\bigr)=-\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=-\cos(u),
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(v)\bigr)=\cos(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial y}=\cos(v)\cdot(-1)=-\cos(v).
Somando,
w_{y y}=-\cos(u)-\cos(v).
Voltando a x,y:
w_{y y}=-\cos(x+y)-\cos(x-y).

Passo 7

Compare \,w_{x x} e \,w_{y y}. Dos Passos 4 e 6 obteve-se
w_{x x}=-\cos(x+y)-\cos(x-y), \qquad w_{y y}=-\cos(x+y)-\cos(x-y).
Logo são iguais, e portanto
w_{x x}-w_{y y}=0.
Isto completa a demonstração. Força aí — deu trabalho, mas o truque foi aplicar a regra da cadeia com cuidado!

Resposta

0

Exercícios relacionados