41 Se
mostre, sem
fórmulas de adição, que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que
sem usar fórmulas de adição para o cosseno.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função explícita
. - O que se deve provar: a diferença entre as derivadas parciais de segunda ordem
e é zero.
Passo 2
Explicação da ferramenta principal: regra da cadeia para derivadas parciais.
Se , então, ao derivar em relação a
,
Se
Aqui
é a derivada de
avaliada em
e
é a derivada parcial do argumento. Exemplo simples: para
tem-se
porque
.
Passo 3
Introduzir notação auxiliar para clareza: defina
e
. Assim
Calcule as derivadas parciais de
e
:
Agora aplique a regra da cadeia para obter
:
Substituindo
e
resulta
Voltando a
:
Passo 4
Calcule
derivando
em relação a
. Use novamente a regra da cadeia:
Somando,
Voltando a
(substituindo
e
):
Passo 5
Agora calcule
. Primeiro as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia em
:
Portanto
ou seja
Passo 6
Calcule
derivando
em relação a
. Novamente a regra da cadeia:
Somando,
Voltando a
:
Passo 7
Compare
e
. Dos Passos 4 e 6 obteve-se
Logo são iguais, e portanto
Isto completa a demonstração. Força aí — deu trabalho, mas o truque foi aplicar a regra da cadeia com cuidado!