Calcule a derivada indicada.
D_{t}\left(\frac{2 \operatorname{cosec} t-1}{\operatorname{cosec} t+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a t da função
\frac{2\operatorname{cosec}t-1}{\operatorname{cosec}t+2}.
Ou seja, devemos calcular
D_{t}\!\left(\frac{2\operatorname{cosec}t-1}{\operatorname{cosec}t+2}\right).
Informações dadas que usaremos: a função envolve \operatorname{cosec}t (ou seja, \operatorname{cosec}t=\dfrac{1}{\sin t}); devemos derivar usando regras usuais (quociente, derivadas de funções trigonométricas).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a regra do quociente aplicando uma substituição u=\operatorname{cosec}t. Isso torna a álgebra clara e permite fatorar o derivado com facilidade. A regra do quociente é uma ferramenta básica e direta aqui.

Passo 3

Lembrando fórmulas que usarei (explicadas para não pular etapa):
  • Regra do quociente: se F(t)=\dfrac{P(t)}{Q(t)} com Q(t)\neq0, então
F'(t)=\frac{P'(t)Q(t)-P(t)Q'(t)}{Q(t)^2}.
Aqui P(t) e Q(t) são funções quaisquer; P'(t) e Q'(t) são suas derivadas.
  • Derivada de \operatorname{cosec}t: escrever \operatorname{cosec}t=(\sin t)^{-1}. Aplicando a regra da potência e a derivada de \sin t obtemos
\frac{d}{dt}\operatorname{cosec}t=\frac{d}{dt}(\sin t)^{-1}=-1\cdot(\sin t)^{-2}\cdot\cos t=-\frac{\cos t}{\sin^{2}t}.
Também é habitual escrever isso como
\frac{d}{dt}\operatorname{cosec}t=-\operatorname{cosec}t\cdot\cot t,
pois \operatorname{cosec}t=\dfrac{1}{\sin t} e \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t}.

Passo 4

Faço a substituição u=\operatorname{cosec}t. Então a função fica
F(t)=\frac{2u-1}{u+2},
onde u depende de t. Vou aplicar a regra do quociente com P(u)=2u-1 e Q(u)=u+2, lembrando que derivadas em relação a t trazem um fator u'=du/dt.
Calcule P' e Q' em termos de u':
P' = \frac{d}{dt}(2u-1)=2u', \qquad Q' = \frac{d}{dt}(u+2)=u'.
Agora a regra do quociente dá
F'(t)=\frac{P'Q-PQ'}{Q^{2}} =\frac{(2u') (u+2) - (2u-1)(u')}{(u+2)^{2}}.

Passo 5

Fatorando u' no numerador para simplificar:
F'(t)=\frac{u'\big(2(u+2)-(2u-1)\big)}{(u+2)^{2}}.
Faço a álgebra dentro do parêntese:
2(u+2)-(2u-1)=2u+4-2u+1=5.
Portanto
F'(t)=\frac{5\,u'}{(u+2)^{2}}.

Passo 6

Agora volto à variável t: lembrando u=\operatorname{cosec}t e u'=\dfrac{d}{dt}\operatorname{cosec}t=-\operatorname{cosec}t\cdot\cot t. Substituindo:
F'(t)=\frac{5\big(-\operatorname{cosec}t\cdot\cot t\big)}{(\operatorname{cosec}t+2)^{2}} =-\frac{5\,\operatorname{cosec}t\cdot\cot t}{(\operatorname{cosec}t+2)^{2}}.

Passo 7

Podemos simplificar a expressão escrevendo \operatorname{cosec}t=\dfrac{1}{\sin t} e \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t}. Substituindo e simplificando passo a passo:
-\frac{5\,\operatorname{cosec}t\cdot\cot t}{(\operatorname{cosec}t+2)^{2}} =-\frac{5\cdot\frac{1}{\sin t}\cdot\frac{\cos t}{\sin t}}{\left(\frac{1}{\sin t}+2\right)^{2}} =-\frac{5\frac{\cos t}{\sin^{2}t}}{\left(\frac{1+2\sin t}{\sin t}\right)^{2}}.
O denominador ao quadrado é \dfrac{(1+2\sin t)^{2}}{\sin^{2}t}. Ao dividir, os fatores \sin^{2}t cancelam:
F'(t)=-\frac{5\cos t}{(1+2\sin t)^{2}}.

Passo 8

Observação sobre o domínio: a função original exige \sin t\neq0 (pois há \operatorname{cosec}t) e também \operatorname{cosec}t+2\neq0, que equivale a 1+2\sin t\neq0. A expressão final está definida exatamente quando \sin t\neq0 e \sin t\neq -\tfrac{1}{2}, conforme esperado.

Resposta

-\dfrac{5\cos t}{(1+2\sin t)^{2}}

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