Calcule a derivada indicada.
Passo 1
O enunciado pede a derivada em relação a
da função
Ou seja, devemos calcular
Informações dadas que usaremos: a função envolve
(ou seja,
); devemos derivar usando regras usuais (quociente, derivadas de funções trigonométricas).
Passo 2
Escolha do método: vou usar a regra do quociente aplicando uma substituição
. Isso torna a álgebra clara e permite fatorar o derivado com facilidade. A regra do quociente é uma ferramenta básica e direta aqui.
Passo 3
Lembrando fórmulas que usarei (explicadas para não pular etapa):
- Regra do quociente: se
com , então
Aqui
e
são funções quaisquer;
e
são suas derivadas.
- Derivada de
: escrever . Aplicando a regra da potência e a derivada de obtemos
Também é habitual escrever isso como
pois
e
.
Passo 4
Faço a substituição
. Então a função fica
onde
depende de
. Vou aplicar a regra do quociente com
e
, lembrando que derivadas em relação a
trazem um fator
.
Calcule
e
em termos de
:
Agora a regra do quociente dá
Passo 5
Fatorando
no numerador para simplificar:
Faço a álgebra dentro do parêntese:
Portanto
Passo 6
Agora volto à variável
: lembrando
e
. Substituindo:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão escrevendo
e
. Substituindo e simplificando passo a passo:
O denominador ao quadrado é
. Ao dividir, os fatores
cancelam:
Passo 8
Observação sobre o domínio: a função original exige
(pois há
) e também
, que equivale a
. A expressão final está definida exatamente quando
e
, conforme esperado.