Resdra as equaços diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais. Dados fornecidos:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Método que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas): procurar soluções da forma exponencial
. Isso é um chute muito útil porque derivadas de exponenciais são múltiplos da própria exponencial, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica em
.
Substituindo
na equação, obtemos a chamada equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica. Vamos fatorar o polinômio:
Logo a raiz é
, com multiplicidade
(raiz dupla).
Passo 4
O que significa ter uma raiz dupla
? Quando a equação característica tem uma raiz dupla
, as duas soluções independentes reais da ODE homogênea são
Explicação curta do porquê (intuitiva e verificável): a primeira solução vem do chute direto
. Para conseguir uma segunda solução linearmente independente, multiplicar por
costuma funcionar quando a raiz é repetida; pode-se verificar que
também satisfaz a equação substituindo e derivando. Portanto, para
a solução geral da ODE é uma combinação linear dessas duas:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicar a condição inicial
. Avaliando a solução geral em
:
Como
, segue que
Passo 6
Agora vamos usar
. Primeiro calculamos
a partir de
. Usando a regra do produto:
- derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto,
Colocando em fator comum
:
Passo 7
Avaliar
em
:
Como
e já temos
, obtemos:
Passo 8
Encontramos as constantes:
e
. Estas são suficientes para determinar a solução única que satisfaz as condições iniciais.