Resdra as equaços diferenciais:
y^{\prime \prime}(t)-6 y^{\prime}(t)+9 y(t)=0
y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais. Dados fornecidos:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}(t)-6\,y^{\prime}(t)+9\,y(t)=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1.
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Método que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas): procurar soluções da forma exponencial \,y(t)=e^{rt}\,. Isso é um chute muito útil porque derivadas de exponenciais são múltiplos da própria exponencial, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica em r.
Substituindo y(t)=e^{rt} na equação, obtemos a chamada equação característica:
r^2 - 6r + 9 = 0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Vamos fatorar o polinômio:
r^2 - 6r + 9 = (r-3)^2.
Logo a raiz é r=3, com multiplicidade 2 (raiz dupla).

Passo 4

O que significa ter uma raiz dupla r=3? Quando a equação característica tem uma raiz dupla r, as duas soluções independentes reais da ODE homogênea são
e^{rt}\quad\text{e}\quad t\,e^{rt}.
Explicação curta do porquê (intuitiva e verificável): a primeira solução vem do chute direto e^{rt}. Para conseguir uma segunda solução linearmente independente, multiplicar por t costuma funcionar quando a raiz é repetida; pode-se verificar que t e^{rt} também satisfaz a equação substituindo e derivando. Portanto, para r=3 a solução geral da ODE é uma combinação linear dessas duas:
y(t)=\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)\,e^{3t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(0)=1. Avaliando a solução geral em t=0:
y(0)=\bigl(C_1 + C_2\cdot 0\bigr)\,e^{0}=C_1.
Como y(0)=1, segue que
C_1=1.

Passo 6

Agora vamos usar y^{\prime}(0)=-1. Primeiro calculamos y^{\prime}(t) a partir de y(t)=\bigl(C_1 + C_2 t\bigr)e^{3t}. Usando a regra do produto:
  • derivada de \bigl(C_1 + C_2 t\bigr) é C_2,
  • derivada de e^{3t} é 3e^{3t}.
Portanto,
y^{\prime}(t)=C_2\,e^{3t}+\bigl(C_1 + C_2 t\bigr)\,3e^{3t}.
Colocando em fator comum e^{3t}:
y^{\prime}(t)=e^{3t}\bigl(3C_1 + C_2 + 3C_2 t\bigr).

Passo 7

Avaliar y^{\prime}(t) em t=0:
y^{\prime}(0)=e^{0}\bigl(3C_1 + C_2 + 0\bigr)=3C_1 + C_2.
Como y^{\prime}(0)=-1 e já temos C_1=1, obtemos:
3\cdot 1 + C_2 = -1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -4.

Passo 8

Encontramos as constantes: C_1=1 e C_2=-4. Estas são suficientes para determinar a solução única que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=\bigl(1-4t\bigr)\,e^{3t}

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