Encontrar uma equação em coordenadas esféricas para a esfera
.
Passo 1
O enunciado dá a esfera
e pede a mesma superfície escrita em coordenadas esféricas.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação cartesiana da superfície é
. - Quer-se a expressão equivalente usando coordenadas esféricas
.
Passo 2
Definição e significado das coordenadas esféricas que vou usar (padrão habitual):
-
é a distância do ponto à origem (sempre ). -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (ou seja, aponta para ); geralmente . -
é o ângulo azimutal no plano (geralmente ).
As fórmulas de mudança de coordenadas (do esférico para o cartesiano) são:
Aqui explico cada fórmula rapidamente:
dá a componente radial projeta no plano
;
e
distribuem essa projeção nas direções
e
; já
é a componente na direção
.
Passo 3
Vou substituir
da esfera pelas expressões em coordenadas esféricas. Primeiro calculo
:
Fatorando
e usando
resulta:
Agora substituo também
na parte
. Assim a equação da esfera vira
Passo 4
Faço a expansão e simplificação passo a passo. Primeiro expandindo o quadrado:
Somando com
dá
Uso agora a identidade trigonométrica
para combinar os termos em
:
Subtraindo
dos dois lados obtém-se
Fatorando
dá
Passo 5
As soluções da fatoração são
ou
.
- A solução
corresponde ao ponto origem , que de fato pertence à esfera (pois ). - A solução mais geral descreve a esfera por
. Como por convenção , precisamos de para que seja não negativo. Isso implica . O ângulo permanece livre em . Observação geométrica: a esfera dada está inteiramente com (variando de até ), portanto faz sentido que atinja no máximo .