Encontrar uma equação em coordenadas esféricas para a esfera x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1.

Passo 1

O enunciado dá a esfera x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 e pede a mesma superfície escrita em coordenadas esféricas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação cartesiana da superfície é x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1.
  • Quer-se a expressão equivalente usando coordenadas esféricas (r,\varphi,\theta).

Passo 2

Definição e significado das coordenadas esféricas que vou usar (padrão habitual):
  • \,r é a distância do ponto à origem (sempre \,r\ge0).
  • \,\varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (ou seja, \varphi=0 aponta para +z); geralmente 0\le\varphi\le\pi.
  • \,\theta é o ângulo azimutal no plano xy (geralmente 0\le\theta<2\pi).
    As fórmulas de mudança de coordenadas (do esférico para o cartesiano) são:
x = r\sin\varphi\cos\theta,
y = r\sin\varphi\sin\theta,
z = r\cos\varphi.
Aqui explico cada fórmula rapidamente: \sin\varphi dá a componente radial projeta no plano xy; \cos\theta e \sin\theta distribuem essa projeção nas direções x e y; já r\cos\varphi é a componente na direção z.

Passo 3

Vou substituir x,y,z da esfera pelas expressões em coordenadas esféricas. Primeiro calculo x^{2}+y^{2}:
x^{2}+y^{2} = (r\sin\varphi\cos\theta)^{2} + (r\sin\varphi\sin\theta)^{2}.
Fatorando (r\sin\varphi)^{2} e usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 resulta:
x^{2}+y^{2} = r^{2}\sin^{2}\varphi.
Agora substituo também z = r\cos\varphi na parte (z-1)^{2}. Assim a equação da esfera vira
r^{2}\sin^{2}\varphi + (r\cos\varphi - 1)^{2} = 1.

Passo 4

Faço a expansão e simplificação passo a passo. Primeiro expandindo o quadrado:
(r\cos\varphi - 1)^{2} = r^{2}\cos^{2}\varphi - 2r\cos\varphi + 1.
Somando com r^{2}\sin^{2}\varphi
r^{2}\sin^{2}\varphi + r^{2}\cos^{2}\varphi - 2r\cos\varphi + 1 = 1.
Uso agora a identidade trigonométrica \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1 para combinar os termos em r^{2}:
r^{2} - 2r\cos\varphi + 1 = 1.
Subtraindo 1 dos dois lados obtém-se
r^{2} - 2r\cos\varphi = 0.
Fatorando r
r\bigl(r - 2\cos\varphi\bigr) = 0.

Passo 5

As soluções da fatoração são r=0 ou r=2\cos\varphi.
  • A solução r=0 corresponde ao ponto origem (0,0,0), que de fato pertence à esfera (pois (0-1)^{2}=1).
  • A solução mais geral descreve a esfera por r=2\cos\varphi. Como por convenção r\ge0, precisamos de \cos\varphi\ge0 para que r seja não negativo. Isso implica \,0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}. O ângulo \theta permanece livre em 0\le\theta<2\pi. Observação geométrica: a esfera dada está inteiramente com z\ge0 (variando de z=0 até z=2), portanto faz sentido que \varphi atinja no máximo \frac{\pi}{2}.

Resposta

r = 2\cos\varphi,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2},\qquad 0\le\theta<2\pi

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