A lâmina rotatória de um liquidificador gira com aceleração angular constante igual a 1,50 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}. (a) Partindo do repouso, quanto tempo ela leva para atingir uma velocidade angular de 36,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ? (b) Qual é o número de rotações descritas pela rotação da lâmina nesse intervalo?

Passo 1

O enunciado dá uma lâmina rotatória com aceleração angular constante e pede duas coisas. Dados fornecidos:
  • Aceleração angular: \alpha = 1{,}50\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
  • A velocidade angular inicial (partindo do repouso): \omega_{0}=0\\ \mathrm{rad/s}.
  • Velocidade angular final desejada: \omega=36{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
Perguntas:
  1. (a) Quanto tempo (t) ela leva para atingir \omega=36{,}0\\ \mathrm{rad/s} partindo do repouso?
  2. (b) Qual é o número de rotações (voltas) descritas pela lâmina nesse intervalo de tempo?

Passo 2

Vamos usar a cinemática rotacional com aceleração angular constante. Aqui ficam as fórmulas e o que cada símbolo significa:
  • \omega é a velocidade angular final, em \mathrm{rad/s}.
  • \omega_{0} é a velocidade angular inicial, em \mathrm{rad/s}.
  • \alpha é a aceleração angular constante, em \mathrm{rad/s^{2}}.
  • t é o tempo que decorre, em \mathrm{s}.
  • \theta é o deslocamento angular durante o tempo t, em \mathrm{rad}.
    As fórmulas fundamentais (análogas às da cinemática linear) são:
\omega=\omega_{0}+\alpha t
\theta=\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}
Para converter deslocamento angular em número de rotações N (voltas):
N=\frac{\theta}{2\pi}
Explicando rapidinho: radiano é a unidade natural para ângulos em movimentos rotacionais; uma volta completa tem 2\pi radianos, por isso dividimos \theta por 2\pi para obter o número de voltas.

Passo 3

Resolver a parte (a): usar \omega=\omega_{0}+\alpha t e isolar t.
t=\frac{\omega-\omega_{0}}{\alpha}
Substituindo os valores dados (peguei \omega e \alpha do enunciado e \omega_{0}=0):
t=\frac{36{,}0}{1{,}50}\\ \mathrm{s}
Agora a conta: dividir 36{,}0 por 1{,}50.
\frac{36{,}0}{1{,}50}=24{,}0
Portanto t=24{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Checagem rápida (para ter confiança): calcular \alpha t = 1{,}50\times24{,}0=36{,}0\\ \mathrm{rad/s}, que é exatamente \omega. Está consistente.

Passo 5

Resolver a parte (b): primeiro calcular o deslocamento angular \theta usando \theta=\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}. Como \omega_{0}=0, fica:
\theta=\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}
Substituindo \alpha=1{,}50\\ \mathrm{rad/s^{2}} e t=24{,}0\\ \mathrm{s}:
\theta=\tfrac{1}{2}\times1{,}50\times(24{,}0)^{2}
Calcule passo a passo: (24{,}0)^{2}=576. Então
\theta=\tfrac{1}{2}\times1{,}50\times576 =0{,}75\times576
\theta=432\\ \mathrm{rad}

Passo 6

Converter \theta em número de rotações N usando N=\dfrac{\theta}{2\pi}.
N=\frac{432}{2\pi}=\frac{216}{\pi}
Agora a aproximação numérica (usar \pi\approx3{,}14159):
N\approx\frac{216}{3{,}14159}\approx68{,}8\\ \text{rotações}çõ
Justificativa de arredondamento: os dados tinham três algarismos significativos ( 1{,}50, 36{,}0), então apresentar t e N com três algarismos significativos é razoável.

Passo 7

Resumo final e interpretação curta (pra te animar): a lâmina atinge a velocidade pedida em 24{,}0\\ \mathrm{s} e, nesse tempo, dá cerca de 68{,}8 voltas — ou seja, muitas rotações! Se quiser praticar, dá pra refazer as contas trocando a aceleração ou a velocidade final para ver como o tempo e o número de voltas mudam.

Resposta

t=24{,}0\\ \mathrm{s}
N=68{,}8\\ \text{rotações}çõ

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