5.42 O derretimento da água inicialmente na temperatura de fusão, T_{f}=0^{\circ} \mathrm{C}, foi considerado no Exemplo 1.6. O congelamento da água frequentemente ocorre a 0^{\circ} \mathrm{C}. Contudo, líquidos puros, que passam por um processo de resfriamento, podem permanecer em um estado de líquido super-resfriado bem abaixo de sua temperatura de congelamento de equilíbrio, T_{f},
particularmente quando o líquido não está em contato com qualquer material sólido. Gotas de água líquida na atmosfera têm uma temperatura de congelamento super-resfriado, T_{f, s r}, que pode ser bem correlacionada com o diâmetro da gota pela expressão T_{f, s r}=-28+0,87 \ln \left(D_{p}\right) na faixa de diâmetros 10^{-7}<D_{p}<10^{-2} \mathrm{~m}, \operatorname{com} T_{f, s r} em graus Celsius e D_{p} em metros. Para uma gota de diâmetro D=50 \mu \mathrm{~m} e temperatura inicial T_{i}=10^{\circ} \mathrm{C}, em condições ambientais de T_{\infty}=-40^{\circ} \mathrm{C} e h=900 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right), compare o tempo necessário para solidificar completamente a gota para o caso A , quando a gota se solidifica a T_{f}=0^{\circ} \mathrm{C}, e para o caso B , quando a gota inicia o congelamento a T_{f, s r}. Esboce o histórico da temperatura do tempo inicial ao tempo no qual a gota está completamente solidificada. Sugestão: Quando a gota atinge T_{f, s r} no caso B, uma rápida solidificação ocorre durante a qual a energia latente liberada pela água que está congelando é absorvida pelo líquido restante na gota. Tão logo algum gelo é formado no interior da gota, o líquido restante fica em contato com um sólido (o gelo) e a temperatura de congelamento muda imediatamente de T_{f, s r} para T_{f}=0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede.
Dados extraídos do enunciado:
  • Diâmetro da gota: D=50\\ \mu\mathrm{m}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Raio da gota: r=\dfrac{D}{2}=25\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial da gota: T_i=10^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente (fluido): T_\infty=-40^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção: h=900\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Temperatura de fusão (equilíbrio): T_f=0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de congelamento super-resfriado dada por T_{f,sr}=-28+0,87\ln\!\left(D_p\right),com D_p em metros.
  • Propriedades do líquido (valores típicos que vamos usar, já que não foram fornecidos):
    • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Calor específico da água: c=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Calor latente de fusão da água: L_f=334000\\ \mathrm{J/kg}.
O que o enunciado pede:
  • Comparar o tempo necessário para solidificar completamente a gota nos dois casos:
    • Caso A: a gota se solidifica a T_f=0^\circ\mathrm{C} (congelamento sem super-resfriamento).
    • Caso B: a gota se super-resfria até T_{f,sr} (dado pela fórmula acima), inicia congelamento lá, ocorre uma solidificação rápida parcial que libera calor e faz o restante congelar a 0^\circ\mathrm{C}; calcular o tempo total até completa solidificação.
  • Esboçar (descrever) o histórico da temperatura do tempo inicial até a gota ficar completamente sólida.

Passo 2

Primeiro verifico se posso usar o modelo de corpo com temperatura uniforme (modelo de capacitância concentrada). A condição é o número de Biot
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}\quad\text{com}\quad L_c=\frac{V}{A},
onde k é a condutividade térmica do fluido sólido interno (usarei k\approx0{,}6\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} para água líquida perto de 0^\circ\mathrm{C}). Para uma esfera:
L_c=\frac{V}{A}=\frac{\tfrac{4}{3}\pi r^3}{4\pi r^2}=\frac{r}{3}.
Então
\mathrm{Bi}=\frac{h(r/3)}{k}=\frac{h r}{3k}.
Substituo valores: h=900, r=25\times10^{-6}\\ \mathrm{m}, k=0{,}6\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
\mathrm{Bi}=\frac{900\cdot 25\times10^{-6}}{3\cdot 0{,}6} =\frac{900\cdot 25\times10^{-6}}{1{,}8} \approx 0{,}0125.
Como \mathrm{Bi}\ll 0{,}1, a aproximação de temperatura uniforme na gota é válida. Isso significa que a temperatura da gota varia no tempo, mas é praticamente igual em todo o volume — podemos usar o modelo de capacitância lumped.
Explicação curta do modelo que vamos usar (didática): no modelo lumped, a equação de balanço de energia para a gota (antes de qualquer mudança de fase) é
m c \frac{dT}{dt}=-h A\bigl(T-T_\infty\bigr),
onde m=\rho V é a massa e A a área superficial. Para uma esfera isso simplifica muito porque A/V=3/r. A solução é exponencial:
T(t)-T_\infty=\bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\left(-\frac{t}{\tau}\right),
com constante de tempo
\tau=\frac{\rho c r}{3h}.

Passo 3

Calculo da constante de tempo \tau numericamente:
\tau=\frac{\rho c r}{3h} =\frac{1000\cdot 4186\cdot 25\times10^{-6}}{3\cdot 900}.
Faço passo a passo:
1000\cdot 25\times10^{-6}=0{,}025,
0{,}025\cdot 4186=104{,}65,
3\cdot 900=2700,
\tau=\frac{104{,}65}{2700}\approx 0{,}03876\\ \mathrm{s}.
Então a constante de tempo é \tau\approx0{,}0388\\ \mathrm{s} (cerca de 39\\ \mathrm{ms}).
Isso já dá a escala de tempo típica da troca térmica por convecção para essa gota minúscula.

Passo 4

Caso A — resfriamento até T_f=0^\circ\mathrm{C} e solidificação completa em 0^\circ\mathrm{C}.
  1. Tempo para a gota esfriar de T_i até T_f pela solução exponencial:
t_{1A}=\tau\ln\!\left(\frac{T_i-T_\infty}{T_f-T_\infty}\right).
Substituo T_i=10^\circ\mathrm{C}, T_f=0^\circ\mathrm{C}, T_\infty=-40^\circ\mathrm{C}:
T_i-T_\infty=10-(-40)=50\\ \mathrm{K},\qquad T_f-T_\infty=0-(-40)=40\\ \mathrm{K}.
t_{1A}=\tau\ln\!\left(\frac{50}{40}\right)=\tau\ln(1{,}25).
\ln(1{,}25)\approx 0{,}22314.
t_{1A}=0{,}03876\cdot 0{,}22314\approx 0{,}00864\\ \mathrm{s}.
Portanto a gota atinge 0^\circ\mathrm{C} muito rápido: t_{1A}\approx 8{,}6\\ \mathrm{ms}.
  1. Tempo para remover a energia latente e congelar totalmente a massa à temperatura constante T_f=0^\circ\mathrm{C}.
    Enquanto a gota está congelando a 0^\circ\mathrm{C}, o fluxo convectivo é aproximadamente constante (a diferença de temperatura superfície-ambiente é 40\\ \mathrm{K}), então o tempo de congelamento por remoção do calor latente é
t_{lat,A}=\frac{mL_f}{hA(T_f-T_\infty)}.
Para uma esfera m/A=\rho r/3. Assim
t_{lat,A}=\frac{\rho r L_f}{3h (T_f-T_\infty)}.
Substituo valores: \rho=1000, r=25\times10^{-6}, L_f=334000, h=900, T_f-T_\infty=40.
\rho r L_f=1000\cdot 25\times10^{-6}\cdot 334000=0{,}025\cdot 334000=8350,
3h(T_f-T_\infty)=3\cdot 900\cdot 40=108000,
t_{lat,A}=\frac{8350}{108000}\approx 0{,}07731\\ \mathrm{s}.
  1. Tempo total para congelar completamente no caso A:
t_A=t_{1A}+t_{lat,A}\approx 0{,}00864+0{,}07731\approx 0{,}08595\\ \mathrm{s}\approx 0{,}086\\ \mathrm{s}.
Interpretação didática: a maior parcela do tempo está na remoção do calor latente; atingir 0^\circ\mathrm{C} é muito rápido devido ao pequeno tamanho da gota.

Passo 5

Calculo de T_{f,sr} para a gota D=50\\ \mu\mathrm{m}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
A fórmula dada é
T_{f,sr}=-28+0{,}87\ln(D_p).
Como peguei o diâmetro do enunciado, D_p=50\times10^{-6}=5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}. Calculo do logaritmo:
\ln(5{,}0\times10^{-5})=\ln(5)+\ln(10^{-5}) \approx 1{,}60944 - 11{,}512925 = -9{,}903486.
Multiplico por 0{,}87:
0{,}87\cdot(-9{,}903486)\approx -8{,}615033.
Finalmente
T_{f,sr}=-28-8{,}615033\approx -36{,}615^\circ\mathrm{C}.
Arredondando: T_{f,sr}\approx -36{,}6^\circ\mathrm{C}.
Observação: isso significa que, se não houver nucleação, a gota pode permanecer líquida até cerca de -36{,}6^\circ\mathrm{C} antes de congelar espontaneamente.

Passo 6

Caso B — resfriamento até T_{f,sr}, solidificação rápida parcial, aumento da temperatura remanescente para 0^\circ\mathrm{C}, e congelamento do restante a 0^\circ\mathrm{C}.
  1. Tempo para esfriar de T_i=10^\circ\mathrm{C} até T_{f,sr}:
t_{1B}=\tau\ln\!\left(\frac{T_i-T_\infty}{T_{f,sr}-T_\infty}\right).
Aqui T_i-T_\infty=50\\ \mathrm{K} como antes e
T_{f,sr}-T_\infty=-36{,}615-(-40)=3{,}385\\ \mathrm{K}.
\frac{50}{3{,}385}\approx 14{,}766\quad\Rightarrow\quad \ln\!(14{,}766)\approx 2{,}693.
t_{1B}=\tau\cdot 2{,}693=0{,}03876\cdot 2{,}693\approx 0{,}1044\\ \mathrm{s}.
Portanto leva cerca de 0{,}104\\ \mathrm{s} para a gota atingir a temperatura de nucleação super-resfriada — já é maior que o tempo para atingir 0^\circ\mathrm{C} no caso A.
  1. O evento rápido de nucleação/solidificação parcial e balanço de energia para estimar a fração que congela instantaneamente.
Quando uma pequena porção x (fração de massa) congela a T_{f,sr}, ela libera calor x m L_f. Esse calor aquece a porção líquida remanescente (1-x)m de T_{f,sr} até 0^\circ\mathrm{C} (pressuposto do enunciado: assim que houver gelo o restante entra em contato com sólido e sua temperatura de congelamento passa para 0^\circ\mathrm{C}). Ignoramos aqui ganhos/ perdas pela convecção durante esse processo rápido (assumimos que é rápido internamente). Balanço energético (por unidade de massa):
x L_f=(1-x) c \Delta T,\quad\text{com}\quad \Delta T=0-T_{f,sr}=-T_{f,sr}.
Note que T_{f,sr} é negativo, então \Delta T=|T_{f,sr}|. Resolvo para x:
x L_f=(1-x) c \Delta T \quad\Rightarrow\quad x(L_f+c\Delta T)=c\Delta T,
x=\frac{c\Delta T}{L_f+c\Delta T}.
Substituo c=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \Delta T=36{,}615\\ \mathrm{K}, L_f=334000\\ \mathrm{J/kg}.
c\Delta T=4186\cdot 36{,}615\approx 153{,}262\\ \mathrm{J/kg}.
x=\frac{153{,}262}{334{,}000+153{,}262}=\frac{153{,}262}{487{,}262}\approx 0{,}3147.
Portanto cerca de 31{,}5\% da massa congela rapidamente durante a nucleação e essa energia eleva a temperatura do restante até 0^\circ\mathrm{C}. O processo rápido interno foi assumido praticamente instantâneo em comparação com os tempos convectivos.
  1. Após esse evento, a fração remanescente (1-x)\approx 0{,}6853 da massa ainda está líquida, à temperatura 0^\circ\mathrm{C}, e precisa liberar sua energia latente para solidificar. A taxa de remoção de calor pela convecção é a mesma que no caso A enquanto a superfície está a 0^\circ\mathrm{C}, isto é hA(T_f-T_\infty)=hA\cdot 40.
Tempo para congelar a massa remanescente:
t_{lat,B}=\frac{(1-x)mL_f}{hA(T_f-T_\infty)}=(1-x)\cdot t_{lat,A}.
Já calculamos t_{lat,A}\approx 0{,}07731\\ \mathrm{s}, logo
t_{lat,B}=(1-0{,}3147)\cdot 0{,}07731\approx 0{,}6853\cdot 0{,}07731\approx 0{,}05299\\ \mathrm{s}.
  1. Tempo total no caso B, desconsiderando o tempo do processo interno rápido (assumido desprezível):
t_B=t_{1B}+t_{lat,B}\approx 0{,}1044+0{,}05299\approx 0{,}1574\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Comparação numérica e interpretação física.
  • Caso A: t_A\approx 0{,}086\\ \mathrm{s}.
  • Caso B: t_B\approx 0{,}157\\ \mathrm{s}.
Conclusão: a gota que se super-resfria até T_{f,sr} demora mais tempo para terminar de solidificar do que a gota que congela diretamente a 0^\circ\mathrm{C}. A razão é: no caso B a gota precisa perder muito mais calor para atingir a temperatura de nucleação (da ordem de dezenas de graus), o que consome tempo convectivo; embora a nucleação libere calor que eleva parte da gota até 0^\circ\mathrm{C}, ainda fica uma fração significativa da massa para congelar à 0^\circ\mathrm{C}, de modo que o tempo total acaba sendo maior.
Ordem de grandeza: t_B é aproximadamente 1{,}8 vezes t_A.

Passo 8

Esboço (descrição) do histórico da temperatura versus tempo para os dois casos (do tempo inicial até a gota estar totalmente sólida):
  • Caso A (sem super-resfriamento):
    • Inicio em T_i=10^\circ\mathrm{C}.
    • Resfriamento exponencial uniforme da gota até 0^\circ\mathrm{C} em t_{1A}\approx 0{,}0086\\ \mathrm{s} (curva decaindo rapidamente).
    • A partir de t_{1A}, a temperatura fica aproximadamente constante em 0^\circ\mathrm{C} durante o período de solidificação, de duração t_{lat,A}\approx 0{,}0773\\ \mathrm{s}, até que toda a massa esteja congelada (tempo total \approx0{,}086\\ \mathrm{s}).
    • Após esse tempo, se continuasse o resfriamento do sólido, a temperatura do gelo cairia gradualmente abaixo de 0^\circ\mathrm{C}.
  • Caso B (com super-resfriamento até T_{f,sr}):
    • Inicio em T_i=10^\circ\mathrm{C}.
    • Resfriamento exponencial uniforme até T_{f,sr}\approx -36{,}6^\circ\mathrm{C} em t_{1B}\approx 0{,}104\\ \mathrm{s} (curva decaindo muito mais).
    • No instante em que atinge T_{f,sr}, ocorre nucleação e uma solidificação rápida parcial: a curva apresenta um salto rápido da temperatura (aumentando) até 0^\circ\mathrm{C} — isto é, uma elevação rápida porque a energia latente liberada aquece o líquido restante.
    • Depois desse salto, a gota permanece em 0^\circ\mathrm{C} enquanto o restante da massa congela, durante t_{lat,B}\approx 0{,}053\\ \mathrm{s}.
    • Tempo total até completa solidificação \approx0{,}157\\ \mathrm{s}.
    • Novamente, após completada a solidificação, o gelo pode continuar a esfriar abaixo de 0^\circ\mathrm{C}.
Esses históricos podem ser desenhados qualitativamente: ambos têm uma curva exponencial decrescente desde 10^\circ\mathrm{C}; no A a curva atinge 0 e fica lá; no B a curva continua até -36{,}6^\circ\mathrm{C}, então há uma subida brusca até 0^\circ\mathrm{C} (curto pulso), seguida de plateau em 0^\circ\mathrm{C} até o término.

Resposta

t_A\approx 0{,}086\\ \mathrm{s}\n
t_B\approx 0{,}157\\ \mathrm{s}

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