5.42 O derretimento da água inicialmente na temperatura de fusão,
, foi considerado no Exemplo 1.6. O congelamento da água frequentemente ocorre a
. Contudo, líquidos puros, que passam por um processo de resfriamento, podem permanecer em um estado de líquido super-resfriado bem abaixo de sua temperatura de congelamento de equilíbrio,
,
particularmente quando o líquido não está em contato com qualquer material sólido. Gotas de água líquida na atmosfera têm uma temperatura de congelamento super-resfriado,
, que pode ser bem correlacionada com o diâmetro da gota pela expressão
na faixa de diâmetros
em graus Celsius e
em metros. Para uma gota de diâmetro
e temperatura inicial
, em condições ambientais de
e
, compare o tempo necessário para solidificar completamente a gota para o caso A , quando a gota se solidifica a
, e para o caso B , quando a gota inicia o congelamento a
. Esboce o histórico da temperatura do tempo inicial ao tempo no qual a gota está completamente solidificada. Sugestão: Quando a gota atinge
no caso B, uma rápida solidificação ocorre durante a qual a energia latente liberada pela água que está congelando é absorvida pelo líquido restante na gota. Tão logo algum gelo é formado no interior da gota, o líquido restante fica em contato com um sólido (o gelo) e a temperatura de congelamento muda imediatamente de
para
.
particularmente quando o líquido não está em contato com qualquer material sólido. Gotas de água líquida na atmosfera têm uma temperatura de congelamento super-resfriado,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede.
Dados extraídos do enunciado:
- Diâmetro da gota:
. - Raio da gota:
. - Temperatura inicial da gota:
. - Temperatura ambiente (fluido):
. - Coeficiente de convecção:
. - Temperatura de fusão (equilíbrio):
. - Temperatura de congelamento super-resfriado dada por
com em metros. - Propriedades do líquido (valores típicos que vamos usar, já que não foram fornecidos):
- Densidade da água:
. - Calor específico da água:
. - Calor latente de fusão da água:
.
- Densidade da água:
O que o enunciado pede:
- Comparar o tempo necessário para solidificar completamente a gota nos dois casos:
- Caso A: a gota se solidifica a
(congelamento sem super-resfriamento). - Caso B: a gota se super-resfria até
(dado pela fórmula acima), inicia congelamento lá, ocorre uma solidificação rápida parcial que libera calor e faz o restante congelar a ; calcular o tempo total até completa solidificação.
- Caso A: a gota se solidifica a
- Esboçar (descrever) o histórico da temperatura do tempo inicial até a gota ficar completamente sólida.
Passo 2
Primeiro verifico se posso usar o modelo de corpo com temperatura uniforme (modelo de capacitância concentrada). A condição é o número de Biot
onde
é a condutividade térmica do fluido sólido interno (usarei
para água líquida perto de
). Para uma esfera:
Então
Substituo valores:
,
,
.
Como
, a aproximação de temperatura uniforme na gota é válida. Isso significa que a temperatura da gota varia no tempo, mas é praticamente igual em todo o volume — podemos usar o modelo de capacitância lumped.
Explicação curta do modelo que vamos usar (didática): no modelo lumped, a equação de balanço de energia para a gota (antes de qualquer mudança de fase) é
onde
é a massa e
a área superficial. Para uma esfera isso simplifica muito porque
. A solução é exponencial:
com constante de tempo
Passo 3
Calculo da constante de tempo
numericamente:
Faço passo a passo:
Então a constante de tempo é
(cerca de
).
Isso já dá a escala de tempo típica da troca térmica por convecção para essa gota minúscula.
Passo 4
Caso A — resfriamento até
e solidificação completa em
.
- Tempo para a gota esfriar de
até pela solução exponencial:
Substituo
,
,
:
Portanto a gota atinge
muito rápido:
.
- Tempo para remover a energia latente e congelar totalmente a massa à temperatura constante
.
Enquanto a gota está congelando a, o fluxo convectivo é aproximadamente constante (a diferença de temperatura superfície-ambiente é ), então o tempo de congelamento por remoção do calor latente é
Para uma esfera
. Assim
Substituo valores:
,
,
,
,
.
- Tempo total para congelar completamente no caso A:
Interpretação didática: a maior parcela do tempo está na remoção do calor latente; atingir
é muito rápido devido ao pequeno tamanho da gota.
Passo 5
Calculo de
para a gota
.
A fórmula dada é
Como peguei o diâmetro do enunciado,
. Calculo do logaritmo:
Multiplico por
:
Finalmente
Arredondando:
.
Observação: isso significa que, se não houver nucleação, a gota pode permanecer líquida até cerca de
antes de congelar espontaneamente.
Passo 6
Caso B — resfriamento até
, solidificação rápida parcial, aumento da temperatura remanescente para
, e congelamento do restante a
.
- Tempo para esfriar de
até :
Aqui
como antes e
Portanto leva cerca de
para a gota atingir a temperatura de nucleação super-resfriada — já é maior que o tempo para atingir
no caso A.
- O evento rápido de nucleação/solidificação parcial e balanço de energia para estimar a fração que congela instantaneamente.
Quando uma pequena porção
(fração de massa) congela a
, ela libera calor
. Esse calor aquece a porção líquida remanescente
de
até
(pressuposto do enunciado: assim que houver gelo o restante entra em contato com sólido e sua temperatura de congelamento passa para
). Ignoramos aqui ganhos/ perdas pela convecção durante esse processo rápido (assumimos que é rápido internamente). Balanço energético (por unidade de massa):
Note que
é negativo, então
. Resolvo para
:
Substituo
,
,
.
Portanto cerca de
da massa congela rapidamente durante a nucleação e essa energia eleva a temperatura do restante até
. O processo rápido interno foi assumido praticamente instantâneo em comparação com os tempos convectivos.
- Após esse evento, a fração remanescente
da massa ainda está líquida, à temperatura , e precisa liberar sua energia latente para solidificar. A taxa de remoção de calor pela convecção é a mesma que no caso A enquanto a superfície está a , isto é .
Tempo para congelar a massa remanescente:
Já calculamos
, logo
- Tempo total no caso B, desconsiderando o tempo do processo interno rápido (assumido desprezível):
Passo 7
Comparação numérica e interpretação física.
- Caso A:
. - Caso B:
.
Conclusão: a gota que se super-resfria até
demora mais tempo para terminar de solidificar do que a gota que congela diretamente a
. A razão é: no caso B a gota precisa perder muito mais calor para atingir a temperatura de nucleação (da ordem de dezenas de graus), o que consome tempo convectivo; embora a nucleação libere calor que eleva parte da gota até
, ainda fica uma fração significativa da massa para congelar à
, de modo que o tempo total acaba sendo maior.
Ordem de grandeza:
é aproximadamente
vezes
.
Passo 8
Esboço (descrição) do histórico da temperatura versus tempo para os dois casos (do tempo inicial até a gota estar totalmente sólida):
-
Caso A (sem super-resfriamento):
- Inicio em
. - Resfriamento exponencial uniforme da gota até
em (curva decaindo rapidamente). - A partir de
, a temperatura fica aproximadamente constante em durante o período de solidificação, de duração , até que toda a massa esteja congelada (tempo total ). - Após esse tempo, se continuasse o resfriamento do sólido, a temperatura do gelo cairia gradualmente abaixo de
.
- Inicio em
-
Caso B (com super-resfriamento até
): - Inicio em
. - Resfriamento exponencial uniforme até
em (curva decaindo muito mais). - No instante em que atinge
, ocorre nucleação e uma solidificação rápida parcial: a curva apresenta um salto rápido da temperatura (aumentando) até — isto é, uma elevação rápida porque a energia latente liberada aquece o líquido restante. - Depois desse salto, a gota permanece em
enquanto o restante da massa congela, durante . - Tempo total até completa solidificação
. - Novamente, após completada a solidificação, o gelo pode continuar a esfriar abaixo de
.
- Inicio em
Esses históricos podem ser desenhados qualitativamente: ambos têm uma curva exponencial decrescente desde
; no A a curva atinge 0 e fica lá; no B a curva continua até
, então há uma subida brusca até
(curto pulso), seguida de plateau em
até o término.