5.18 Um vaso esférico usado como um reator para produzir fármacos tem uma parede de aço inoxidável ( k=17 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) com 5 mm de espessura e diâmetro interno D_{i}=1,0 \mathrm{~m}. Durante a produção, o vaso contém reagentes para os quais \rho=1100 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e c=2400 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), enquanto reações exotérmicas liberam energia a uma taxa volumétrica de \dot{q}=10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. Como uma primeira aproximação, os reagentes podem ser considerados misturados idealmente e a capacitância térmica do vaso pode ser desprezada.
(a) A superfície externa do vaso está exposta ao ar ambiente ( T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C} ), no qual pode-se admitir um coeficiente de transferência de calor h=6 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). Sendo a temperatura inicial dos reagentes igual a 25^{\circ} \mathrm{C}, qual é a temperatura dos reagentes após cinco horas de processamento? Qual é a temperatura correspondente na superfície externa do vaso?
(b) Explore o efeito de variar o coeficiente convectivo nas condições térmicas transientes no interior do reator.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que se pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Espessura da parede do vaso: s=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro interno do vaso: D_i=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do aço inox: k=17\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • Densidade dos reagentes: \rho=1100\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Capacidade térmica dos reagentes: c=2400\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
  • Taxa volumétrica de geração de calor (reação exotérmica): \dot{q}=10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3.
  • Temperatura ambiente: T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo (caso (a)): h=6\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Temperatura inicial dos reagentes: T(0)=25^\circ\mathrm{C}.
  • Capacitância térmica do vaso (parede) desprezada.
O enunciado pede:
(a) Calcular a temperatura dos reagentes após cinco horas de processamento e a temperatura correspondente na superfície externa do vaso nas condições dadas (isto é, com h=6\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K})).
(b) Explorar o efeito de variar o coeficiente convectivo h nas respostas térmicas transientes dentro do reator.

Passo 2

Montagem do balanço de energia (explicado passo a passo).
Ideia física e hipóteses usadas (bem explicadas):
  • Os reagentes são idealmente misturados: a temperatura do fluido é uniforme no volume (uma única temperatura T(t) que depende do tempo).
  • A capacitância térmica do vaso (parede) é desprezada: a parede não armazena energia (não aumenta sua temperatura com o tempo), portanto ela estabelece apenas uma resistência térmica entre o fluido e o ar.
  • A resistência convectiva do lado interno foi desprezada (ou seja, o fluido e a superfície interna da parede estão à mesma temperatura), pois mistura intensa torna essa resistência pequena comparada à externa + condução no metal.
  • Assim, o calor gerado volumetricamente em todo instante tem duas “saídas”: uma parcela sai para o ambiente por condução através da parede e convecção externa; o restante aumenta a temperatura do fluido (armazenamento térmico).
Escrevendo o balanço de energia sobre o fluido (massa bem-misturado):
\text{(acúmulo)} = \text{(geração)} - \text{(fluxo para o ambiente)}.úçã
Em fórmulas:
\rho V c\,\frac{dT}{dt} = \dot{q}\,V - \dot{Q}(t),
onde
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3),
  • V é o volume interno do vaso ( \mathrm{m}^3),
  • c é o calor específico ( \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})),
  • \dot{q} é a taxa volumétrica de geração ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^3),
  • \dot{Q}(t) é a taxa de calor que sai para o ambiente ( \mathrm{W}).
A taxa de calor que sai para o ambiente passa pela resistência térmica combinada da parede (condução) e da convecção externa. Definimos a resistência total entre o fluido e o ambiente:
R_{\text{tot}} = R_{\text{cond}} + R_{\text{conv}},
onde
  • R_{\text{cond}} é a resistência por condução através da parede,
  • R_{\text{conv}} é a resistência por convecção do lado externo.
Então
\dot{Q}(t)=\frac{T(t)-T_{\infty}}{R_{\text{tot}}}.
Convenientemente definimos UA = 1/R_{\text{tot}}. Substituindo no balanço:
\rho V c\,\frac{dT}{dt} = \dot{q}V - UA\bigl(T-T_{\infty}\bigr).
Essa é uma EDO linear de primeira ordem. Reorganizando:
\frac{dT}{dt} + \frac{UA}{\rho V c}\,T = \frac{\dot{q}V + UA\,T_{\infty}}{\rho V c}.
A solução com condição inicial T(0)=T_0 (aqui T_0=T_{\infty}) tem forma conhecida (sistema de primeira ordem): a solução tende exponencialmente para um estado estacionário
T_{\text{ss}} = T_{\infty} + \frac{\dot{q}V}{UA},
e o tempo característico (constante de tempo) é
\tau = \frac{\rho V c}{UA}.
A solução transiente é
T(t)=T_{\infty} + \bigl(T_{\text{ss}}-T_{\infty}\bigr)\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr),
quando T(0)=T_{\infty}.
Nota didática rápida sobre cada termo:
  • \dot{q}V é a potência total gerada pelas reações dentro do volume.
  • UA é a capacidade de remover calor por unidade de diferença de temperatura; quanto maior UA menor será o aquecimento (menor T_{\text{ss}}) e menor será \tau (mais rápido o sistema atingir o regime estacionário).

Passo 3

Cálculo das quantidades geométricas e das resistências térmicas (passo a passo numérico).
Raio interno:
r_i=\frac{D_i}{2}=\frac{1{,}0}{2}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
Raio externo:
r_o=r_i+s=0{,}5+0{,}005=0{,}505\\ \mathrm{m}.
Volume interno do fluido (esfera):
V=\frac{4}{3}\pi r_i^3=\frac{4}{3}\pi(0{,}5)^3 \approx 0{,}5235988\\ \mathrm{m}^3.
Massa do fluido:
m=\rho V=1100\cdot 0{,}5235988\approx 575{,}9587\\ \mathrm{kg}.
Capacitância térmica do fluido (massa vezes c):
m c \approx 575{,}9587\cdot 2400 \approx 1{,}382{,}300{,}8\\ \mathrm{J/K}.
Área externa (onde ocorre convecção):
A_o = 4\pi r_o^2 = 4\pi(0{,}505)^2 \approx 3{,}20473866\\ \mathrm{m}^2.
Resistência por condução através da parede (resistência radial de uma casca esférica):
R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}\Bigr).
Substituindo:
R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi\cdot 17}\Bigl(\frac{1}{0{,}5}-\frac{1}{0{,}505}\Bigr)\approx 9{,}269\times 10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.
(Comentário: esse valor é muito pequeno porque a parede de aço é fina e conduz bem.)
Resistência por convecção externa:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h A_o}=\frac{1}{6\cdot 3{,}20473866}\approx 0{,}05202078\\ \mathrm{K/W}.
Resistência total e UA:
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}\approx 0{,}05211347\\ \mathrm{K/W},
UA=\frac{1}{R_{\text{tot}}}\approx 19{,}18840\\ \mathrm{W/K}.

Passo 4

Cálculo do regime estacionário, da constante de tempo e da solução transiente.
Potência total gerada pelas reações:
\dot{Q}_{\text{gen}}=\dot{q}\,V = 10^{4}\cdot 0{,}5235988 \approx 5235{,}9878\\ \mathrm{W}.
Temperatura de regime estacionário (a que o sistema tenderia após tempo longo):
T_{\text{ss}}=T_{\infty}+\frac{\dot{Q}_{\text{gen}}}{UA} =25^\circ\mathrm{C}+\frac{5235{,}9878}{19{,}18840}\approx 25^\circ\mathrm{C}+272{,}824\\ \mathrm{K}.
Portanto
T_{\text{ss}}\approx 297{,}824^\circ\mathrm{C}.
(Constatação física: sem resfriamento mais eficaz, a reação aquece fortemente o reator.)
Constante de tempo do sistema:
\tau=\frac{m c}{UA}\approx\frac{1{,}382{,}300{,}8}{19{,}18840}\approx 72{,}040\\ \mathrm{s}\approx 20{,}01\\ \mathrm{h}.
Solução transiente (com T(0)=T_{\infty}):
T(t)=T_{\infty}+\bigl(T_{\text{ss}}-T_{\infty}\bigr)\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).

Passo 5

Avaliação numérica para t=5 horas.
Tempo em segundos:
t=5\\ \mathrm{h}=5\cdot 3600=18000\\ \mathrm{s}.
Fator exponencial:
e^{-t/\tau}=e^{-18000/72040}\approx e^{-0{,}2499}\approx 0{,}7789.
Então
T(18000)=25^\circ\mathrm{C}+(297{,}824-25)\cdot(1-0{,}7789)\approx 25+(272{,}824)\cdot 0{,}2211\approx 85{,}309^\circ\mathrm{C}.
Arredondando a uma casa decimal: \boxed{T(5\\ \mathrm{h})\approx 85{,}3^\circ\mathrm{C}}.

Passo 6

Temperatura da superfície externa do vaso após cinco horas (ligação entre fluido e superfície).
Explicação física curta:
  • A diferença entre a temperatura do fluido e da superfície externa é causada pela queda de temperatura ao atravessar a parede (condução). Como R_{\text{cond}} é muito pequeno, essa queda será pequena, mas vamos calcular exatamente.
Fluxo de calor naquele instante:
\dot{Q}(18000)=UA\bigl(T(18000)-T_{\infty}\bigr)\approx 19{,}18840\cdot(85{,}309-25)\approx 1157{,}072\\ \mathrm{W}.
Temperatura da superfície externa T_s obtida por:
T_s = T_{\infty} + \dot{Q}\,R_{\text{conv}}
ou equivalentemente
T_s = T(18000) - \dot{Q}\,R_{\text{cond}}.
Usando valores:
T_s \approx 25 + 1157{,}072\cdot 0{,}05202078 \approx 85{,}202^\circ\mathrm{C}.
(Consistente com a outra expressão; a queda através da parede é pequena: \dot{Q}R_{\text{cond}}\approx 0{,}107^\circ\mathrm{C}.)
Arredondando: \boxed{T_{s}(5\\ \mathrm{h})\approx 85{,}20^\circ\mathrm{C}}.

Passo 7

Análise do efeito de variar o coeficiente convectivo h (parte (b)): como h afeta T_{\text{ss}} e \tau, com alguns exemplos numéricos.
Relação geral:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA_o},\qquad R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}},\qquad UA=\frac{1}{R_{\text{tot}}}.
Portanto, aumentar h diminui R_{\text{conv}}, aumenta UA, diminui T_{\text{ss}} (menos aquecimento no regime estacionário) e diminui \tau (o sistema responde mais rápido).
Cálculos exemplares usando os mesmos dados geométricos e de geração, para alguns valores típicos de h:
  • Caso 1: h=1\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) (convecção natural muito fraca)
    • R_{\text{conv}}\approx \dfrac{1}{1\cdot 3{,}2047}\approx 0{,}31165\\ \mathrm{K/W}.
    • UA\approx 3{,}2068\\ \mathrm{W/K}.
    • T_{\text{ss}}=25+\dfrac{5235{,}99}{3{,}2068}\approx 1657{,}9^\circ\mathrm{C} (valor absurdamente alto — perigo de falha).
    • \tau\approx \dfrac{1{,}382{,}300{,}8}{3{,}2068}\approx 431{,}252\\ \mathrm{s}\approx 119{,}8\\ \mathrm{h}.
  • Caso 2: h=6\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) (nosso caso original)
    • Já calculado: T_{\text{ss}}\approx 297{,}8^\circ\mathrm{C}, \tau\approx 20{,}0\\ \mathrm{h}.
  • Caso 3: h=25\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) (convecção forçada moderada)
    • R_{\text{conv}}\approx 0{,}012484\\ \mathrm{K/W}.
    • UA\approx 79{,}484\\ \mathrm{W/K}.
    • T_{\text{ss}}\approx 25+\dfrac{5235{,}99}{79{,}484}\approx 90{,}9^\circ\mathrm{C}.
    • \tau\approx \dfrac{1{,}382{,}300{,}8}{79{,}484}\approx 17{,}393\\ \mathrm{s}\approx 4{,}83\\ \mathrm{h}.
  • Caso 4: h=100\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) (convecção forçada forte, trocador/permitindo ar forçado)
    • UA\approx 311{,}19\\ \mathrm{W/K}.
    • T_{\text{ss}}\approx 25+\dfrac{5235{,}99}{311{,}19}\approx 41{,}8^\circ\mathrm{C}.
    • \tau\approx \dfrac{1{,}382{,}300{,}8}{311{,}19}\approx 4{,}442\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{s}\approx 1{,}23\\ \mathrm{h}.
Interpretação e conclusão prática:
  • Com h pequeno (convecção natural fraca) o reator superaquece perigosamente e demora muito para reagir: isso mostra que a remoção de calor é o fator crítico aqui.
  • Com h moderado (nosso caso h=6) o estado estacionário é alto ( \sim 298^\circ\mathrm{C}) e a aproximação de 5 horas dá \sim 85^\circ\mathrm{C} — já um aumento considerável; o sistema ainda está longe do regime estacionário.
  • Com h aumentado (ventilação forçada, trocador de calor, superfície maior), tanto T_{\text{ss}} quanto \tau caem: o reator aquece menos e atinge o novo equilíbrio mais rapidamente.
  • Conclusão de engenharia: para controlar a temperatura de reações exotérmicas como essa é essencial aumentar UA — via aumentar h (ventilação forçada, jaqueta de resfriamento, serpentinas) e/ou aumentar área ou usar material com maior condutividade e maior espessura adequada — ou reduzir a geração \dot{q} (controle da reação). O simples ar natural com h\approx 6 não é suficiente para manter temperaturas seguras no regime estacionário.

Resposta

T(5\\ \mathrm{h})\approx 85{,}3^\circ\mathrm{C}
T_{\text{superfície externa}}(5\\ \mathrm{h})\approx 85{,}20^\circ\mathrm{C}í

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