5.18 Um vaso esférico usado como um reator para produzir fármacos tem uma parede de aço inoxidável (
) com 5 mm de espessura e diâmetro interno
. Durante a produção, o vaso contém reagentes para os quais
e
, enquanto reações exotérmicas liberam energia a uma taxa volumétrica de
. Como uma primeira aproximação, os reagentes podem ser considerados misturados idealmente e a capacitância térmica do vaso pode ser desprezada.
(a) A superfície externa do vaso está exposta ao ar ambiente (
), no qual pode-se admitir um coeficiente de transferência de calor
. Sendo a temperatura inicial dos reagentes igual a
, qual é a temperatura dos reagentes após cinco horas de processamento? Qual é a temperatura correspondente na superfície externa do vaso?
(b) Explore o efeito de variar o coeficiente convectivo nas condições térmicas transientes no interior do reator.
(a) A superfície externa do vaso está exposta ao ar ambiente (
(b) Explore o efeito de variar o coeficiente convectivo nas condições térmicas transientes no interior do reator.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que se pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- Espessura da parede do vaso:
. - Diâmetro interno do vaso:
. - Condutividade térmica do aço inox:
. - Densidade dos reagentes:
. - Capacidade térmica dos reagentes:
. - Taxa volumétrica de geração de calor (reação exotérmica):
. - Temperatura ambiente:
. - Coeficiente convectivo (caso (a)):
. - Temperatura inicial dos reagentes:
. - Capacitância térmica do vaso (parede) desprezada.
O enunciado pede:
(a) Calcular a temperatura dos reagentes após cinco horas de processamento e a temperatura correspondente na superfície externa do vaso nas condições dadas (isto é, com ).
(b) Explorar o efeito de variar o coeficiente convectivo nas respostas térmicas transientes dentro do reator.
(a) Calcular a temperatura dos reagentes após cinco horas de processamento e a temperatura correspondente na superfície externa do vaso nas condições dadas (isto é, com
(b) Explorar o efeito de variar o coeficiente convectivo
Passo 2
Montagem do balanço de energia (explicado passo a passo).
Ideia física e hipóteses usadas (bem explicadas):
- Os reagentes são idealmente misturados: a temperatura do fluido é uniforme no volume (uma única temperatura
que depende do tempo). - A capacitância térmica do vaso (parede) é desprezada: a parede não armazena energia (não aumenta sua temperatura com o tempo), portanto ela estabelece apenas uma resistência térmica entre o fluido e o ar.
- A resistência convectiva do lado interno foi desprezada (ou seja, o fluido e a superfície interna da parede estão à mesma temperatura), pois mistura intensa torna essa resistência pequena comparada à externa + condução no metal.
- Assim, o calor gerado volumetricamente em todo instante tem duas “saídas”: uma parcela sai para o ambiente por condução através da parede e convecção externa; o restante aumenta a temperatura do fluido (armazenamento térmico).
Escrevendo o balanço de energia sobre o fluido (massa bem-misturado):
Em fórmulas:
onde
-
é a densidade do fluido ( ), -
é o volume interno do vaso ( ), -
é o calor específico ( ), -
é a taxa volumétrica de geração ( ), -
é a taxa de calor que sai para o ambiente ( ).
A taxa de calor que sai para o ambiente passa pela resistência térmica combinada da parede (condução) e da convecção externa. Definimos a resistência total entre o fluido e o ambiente:
onde
-
é a resistência por condução através da parede, -
é a resistência por convecção do lado externo.
Então
Convenientemente definimos
. Substituindo no balanço:
Essa é uma EDO linear de primeira ordem. Reorganizando:
A solução com condição inicial
(aqui
) tem forma conhecida (sistema de primeira ordem): a solução tende exponencialmente para um estado estacionário
e o tempo característico (constante de tempo) é
A solução transiente é
quando
.
Nota didática rápida sobre cada termo:
-
é a potência total gerada pelas reações dentro do volume. -
é a capacidade de remover calor por unidade de diferença de temperatura; quanto maior menor será o aquecimento (menor ) e menor será (mais rápido o sistema atingir o regime estacionário).
Passo 3
Cálculo das quantidades geométricas e das resistências térmicas (passo a passo numérico).
Raio interno:
Raio externo:
Volume interno do fluido (esfera):
Massa do fluido:
Capacitância térmica do fluido (massa vezes
):
Área externa (onde ocorre convecção):
Resistência por condução através da parede (resistência radial de uma casca esférica):
Substituindo:
(Comentário: esse valor é muito pequeno porque a parede de aço é fina e conduz bem.)
Resistência por convecção externa:
Resistência total e
:
Passo 4
Cálculo do regime estacionário, da constante de tempo e da solução transiente.
Potência total gerada pelas reações:
Temperatura de regime estacionário (a que o sistema tenderia após tempo longo):
Portanto
(Constatação física: sem resfriamento mais eficaz, a reação aquece fortemente o reator.)
Constante de tempo do sistema:
Solução transiente (com
):
Passo 5
Avaliação numérica para
horas.
Tempo em segundos:
Fator exponencial:
Então
Arredondando a uma casa decimal:
.
Passo 6
Temperatura da superfície externa do vaso após cinco horas (ligação entre fluido e superfície).
Explicação física curta:
- A diferença entre a temperatura do fluido e da superfície externa é causada pela queda de temperatura ao atravessar a parede (condução). Como
é muito pequeno, essa queda será pequena, mas vamos calcular exatamente.
Fluxo de calor naquele instante:
Temperatura da superfície externa
obtida por:
ou equivalentemente
Usando valores:
(Consistente com a outra expressão; a queda através da parede é pequena:
.)
Arredondando:
.
Passo 7
Análise do efeito de variar o coeficiente convectivo
(parte (b)): como
afeta
e
, com alguns exemplos numéricos.
Relação geral:
Portanto, aumentar
diminui
, aumenta
, diminui
(menos aquecimento no regime estacionário) e diminui
(o sistema responde mais rápido).
Cálculos exemplares usando os mesmos dados geométricos e de geração, para alguns valores típicos de
:
-
Caso 1:
(convecção natural muito fraca) -
. -
. -
(valor absurdamente alto — perigo de falha). -
-
-
Caso 2:
(nosso caso original) - Já calculado:
, .
- Já calculado:
-
Caso 3:
(convecção forçada moderada) -
. -
. -
-
-
-
Caso 4:
(convecção forçada forte, trocador/permitindo ar forçado) -
. -
-
-
Interpretação e conclusão prática:
- Com
pequeno (convecção natural fraca) o reator superaquece perigosamente e demora muito para reagir: isso mostra que a remoção de calor é o fator crítico aqui. - Com
moderado (nosso caso ) o estado estacionário é alto ( ) e a aproximação de 5 horas dá — já um aumento considerável; o sistema ainda está longe do regime estacionário. - Com
aumentado (ventilação forçada, trocador de calor, superfície maior), tanto quanto caem: o reator aquece menos e atinge o novo equilíbrio mais rapidamente. - Conclusão de engenharia: para controlar a temperatura de reações exotérmicas como essa é essencial aumentar
— via aumentar (ventilação forçada, jaqueta de resfriamento, serpentinas) e/ou aumentar área ou usar material com maior condutividade e maior espessura adequada — ou reduzir a geração (controle da reação). O simples ar natural com não é suficiente para manter temperaturas seguras no regime estacionário.