5.35 Uma estrutura horizontal é constituída por uma camada de
10 mm de espessura e uma camada de alumínio
de
espessura. A superfície inferior da estrutura composta recebe um fluxo térmico
, enquanto a superfície superior está exposta a condições convectivas caracterizadas por
e
. A temperatura inicial dos dois materiais é
e uma resistência de contato de
existe na interface entre os dois materiais.
(a) Determine os tempos nos quais o cobre e o alumínio atingem, cada um, a temperatura de
. A camada de cobre é a inferior.
(b) Repita a parte (a) com a camada de cobre na posição superior.
Sugestão: Modifique a Equação 5.15 para incluir um termo associado à transferência de calor através de uma resistência de contato. Use a forma modificada da Equação 5.15 em cada uma das camadas. Veja Comentário 3 do Exemplo 5.2.
espessura. A superfície inferior da estrutura composta recebe um fluxo térmico
(a) Determine os tempos nos quais o cobre e o alumínio atingem, cada um, a temperatura de
(b) Repita a parte (a) com a camada de cobre na posição superior.
Passo 1
O enunciado dá uma estrutura composta por duas camadas planas horizontais (uma de cobre e outra de alumínio), cada uma com espessura
. A superfície inferior da estrutura recebe um fluxo térmico constante de
. A superfície superior está sujeita a convecção com coeficiente
e temperatura ambiente
. Temperatura inicial das duas camadas
. Há uma resistência de contato por unidade de área entre as camadas
. A camada de cobre é a inferior na parte (a) e superior na parte (b).
O que o problema pede:
- (a) determinar os tempos em que o cobre e o alumínio atingem
quando o cobre está na posição inferior. - (b) repetir (a) com o cobre na posição superior.
Informações numéricas relevantes (retomando os dados do enunciado):
-
-
-
-
-
-
- alvo:
.
Observação: o enunciado não fornece propriedades térmicas dos materiais; para resolver o problema vou usar propriedades típicas de literatura (valores convencionais) e vou declará‑las explicitamente antes de resolver. Não foi pedido otimização de número de casas decimais; resultados serão apresentados com precisão adequada para prova.
Passo 2
Escolha do modelo físico e justificativa didática (passo fundamental):
- A espessura de cada camada é
(camada fina). Para decidir se posso tratar cada camada como um nó térmico (modelo de capacidade concentrada, “lumped capacitance”) verifico o número de Biot para cada camada: - O comprimento característico para uma lâmina de espessura
é . - Biot:
, onde é a condutividade térmica do material. (Significado: relação entre resistência térmica por convecção na superfície e resistência por condução interna; se a temperatura interna é quase homogênea.)
- O comprimento característico para uma lâmina de espessura
- Como temos duas camadas com uma resistência de contato entre elas, o sistema pode ser modelado por duas capacidades térmicas por unidade de área (uma para cada camada) ligadas por uma resistência térmica superficial de contato
. Essa é uma rede térmica em 1D (por unidade de área): o nó inferior recebe o fluxo na sua face inferior; os dois nós trocam calor através de ; o nó superior perde calor por convecção para o ambiente.
Antes de aplicar o modelo, preciso confirmar que o tratamento lumped por camada é razoável (Biot pequeno). Para isso uso condutividades típicas (valores convencionais):
- Cobre:
. - Alumínio:
.
Calculo de Bi:
Conclusão pedagógica: ambos os Bi são muito pequenos, logo cada camada pode ser tratada como um nó térmico com temperatura praticamente uniforme ao longo de sua espessura. Assim o modelo de duas capacidades térmicas acopladas por
é apropriado e suficientemente simples para fazer na prova sem cálculo numérico pesado.
Passo 3
Formular as equações de balanço de energia (por unidade de área). Defino:
-
= temperatura da camada inferior (em ); -
= temperatura da camada superior (em ); -
= capacidade térmica por unidade de área da camada inferior ; -
= capacidade térmica por unidade de área da camada superior; -
(resistência de contato por unidade de área, ); -
é o fluxo aplicado na face inferior; - convecção no topo: fluxo de saída
.
As capacidades por unidade de área são:
onde
é densidade,
capacidade térmica massica e
espessura.
As equações de balanço (por unidade de área) são:
Explico: no nó inferior entra
pela face de baixo e sai para o nó superior através de
; no nó superior entra pela resistência de contato e sai por convecção. Essas equações são ODEs lineares de primeira ordem acopladas com forçantes constantes.
Passo 4
Propriedades dos materiais usadas (valores típicos de tabela, declaro explicitamente para a prova):
- Cobre:
, . - Alumínio:
, .
Calculo das capacidades por unidade de área:
Para
:
Esses valores serão usados por unidade de área (trabalhando com
de área, como é usual em problemas de fluxo por unidade de área).
Passo 5
Escrever o sistema matricial e as constantes auxiliares (esta é a forma conveniente para resolver analiticamente):
Defino
Defino
Então as equações normalizadas ficam
Estratégia de solução (passo didático): primeiro obtenho o estado estacionário
resolvendo
. Depois a solução temporal é
onde
pode ser expandido em modos (autovalores/autovetores). Para um sistema
isso dá combinações de duas exponenciais reais, o que permite explicitar
e
como soma de duas exponenciais com constantes determinadas pelas condições iniciais.
Agora aplico tudo para cada configuração do problema.]
Passo 6
Aqui:
- camada inferior
= cobre , - camada superior
= alumínio .
Calculo constantes:
Termos fonte:
Matriz
e vetor
:
Passo 7
Calculo o estado estacionário
resolvendo
. Das equações:
Observe a simplificação útil (que vale sempre):
. Com
e
obtemos
. Assim
Substituindo na segunda equação e resolvendo (álgebra direta) obtém-se
(esses valores são elevados porque o fluxo aplicado é muito grande e a resistência convectiva é relativamente alta; o número que importa para o problema é a dinâmica para atingir
.)
Agora forma modal: calcule os autovalores (taxas de decaimento). A equação característica leva aos autovalores
Esses significam dois modos: um modo lento (tau
) e um modo rápido (tau
). A solução geral para a componente homogênea é combinação linear desses dois modos com autovetores associados.
Determinando as constantes a partir da condição inicial
obtém-se (procedimento algébrico: decomposição em autovetores; eu mostro os resultados numéricos abaixo):
- coeficientes da solução para
:
- para
(usando componentes do autovetor correspondente ao modo dominante):
(Observação didática: os termos com
decaem rapidamente nos primeiros segundos; o termo com
domina no comportamento em dezenas de segundos e minutos.)
Passo 8
Agora eu resolvo numericamente as equações
e
usando as fórmulas anteriores.
Para o cobre (inferior) resolvo
Rearranjando:
Avaliação por tentativa e interpolação numérica (procedimento que se pode fazer na prova usando algumas avaliações e interpolação linear entre pontos):
-
dá LHS (ainda acima de 2475), -
dá LHS (já abaixo), - interpolando entre
e obtém-se a raiz próxima de .
Portanto o cobre (inferior) atinge
em aproximadamente
.
Para o alumínio (superior) resolvo
ou equivalentemente
Avaliações:
-
dá LHS (ainda acima), -
dá LHS (abaixo), - interpolando entre 42 e 43 s obtém-se aproximadamente
.
Portanto o alumínio (superior) atinge
em aproximadamente
.
Passo 9
Agora troco as posições: camada inferior
= alumínio (
), camada superior
= cobre (
). Recalculo constantes:
A solução segue o mesmo procedimento matricial; o estado estacionário é o mesmo (novamente
pela identidade
que impõe diferença de
entre os nós em regime permanente). Os autovalores mudam ligeiramente:
Determinando constantes pela condição inicial
(procedimento idêntico ao caso anterior) obtemos as expressões:
Passo 10
Resolver
(alumínio inferior):
Avaliações:
-
gera LHS (muito próximo), -
gera LHS menor que 2475, - interpolação dá cerca de
.
Logo o alumínio (inferior) atinge
em aproximadamente
.
Resolver
(cobre superior):
Avaliações:
-
dá LHS ligeiramente acima de 2435, -
dá LHS ligeiramente abaixo, - interpolando obtém-se
.
Portanto o cobre (superior) atinge
em aproximadamente
.
Resposta
(a) cobre (inferior):
(a) alumínio (superior):
(a) alumínio (superior):
(b) alumínio (inferior):
(b) cobre (superior):
(b) cobre (superior):