48-\int \frac{6 x^{2}+5 x+1}{x^{3}+x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
O conteúdo principal aqui é integração de função racional usando frações parciais. Vamos precisar:
- fatorar o denominador,
- decompor em frações parciais,
- integrar cada termo separado,
- finalmente subtrair esse resultado de
.
Passo 2
Fatoramos o denominador para facilitar a decomposição:
Passo 3
Propomos a forma de frações parciais
Multiplicando ambos os lados por
Comparando coeficientes:
logo
e
. Assim
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
Somando, obtemos
Passo 5
Por fim, voltamos à expressão original subtraindo essa integral de
:
Como
já é constante arbitrária, podemos absorver o sinal e reescrever