48-\int \frac{6 x^{2}+5 x+1}{x^{3}+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
48 \;-\;\int \frac{6x^{2}+5x+1}{x^{3}+x}\,dx
O conteúdo principal aqui é integração de função racional usando frações parciais. Vamos precisar:
  1. fatorar o denominador,
  2. decompor em frações parciais,
  3. integrar cada termo separado,
  4. finalmente subtrair esse resultado de 48.

Passo 2

Fatoramos o denominador para facilitar a decomposição:
x^{3}+x = x\,(x^{2}+1).

Passo 3

Propomos a forma de frações parciais
\frac{6x^{2}+5x+1}{x\,(x^{2}+1)} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+1)\), obtemos \[6x^{2}+5x+1 = A\,(x^{2}+1)+(Bx+C)\,x = (A+B)\,x^{2} + C\,x + A.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B = 6,\\\ C = 5,\\\ A = 1, \end{cases}
logo A=1\], \(B=5 e C=5. Assim
\frac{6x^{2}+5x+1}{x^{3}+x} =\frac{1}{x}+\frac{5x+5}{x^{2}+1}.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|,
\int \frac{5x}{x^{2}+1}\,dx =\frac{5}{2}\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr),
\int \frac{5}{x^{2}+1}\,dx =5\,\arctan(x).
Somando, obtemos
\int \frac{6x^{2}+5x+1}{x^{3}+x}\,dx =\ln|x|+\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+5\arctan(x)+C.

Passo 5

Por fim, voltamos à expressão original subtraindo essa integral de 48:
48 \;-\;\Bigl[\ln|x|+\tfrac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+5\arctan(x)\Bigr]+C.
Como C já é constante arbitrária, podemos absorver o sinal e reescrever

Resposta

48 \;-\;\ln|x| \;-\;\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\;-\;5\arctan(x)\;+\;C.

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