47-\int \frac{3 x+4}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
47 \;-\;\int \frac{3x+4}{(x+1)^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de uma função racional. Vamos usar a substituição u=x+1 para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = x+1, \quad du = dx,
temos 3x+4 = 3(u-1)+4 = 3u+1. Logo a integral fica
\int \frac{3x+4}{(x+1)^{2}}\,dx = \int \frac{3u+1}{u^{2}}\,du.

Passo 3

Escrevendo o integrando em termos de potências de u,
\frac{3u+1}{u^{2}} = \frac{3u}{u^{2}} + \frac{1}{u^{2}} = 3\,u^{-1} + u^{-2}.
Portanto
\int \frac{3u+1}{u^{2}}\,du = \int \bigl(3\,u^{-1} + u^{-2}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
\int 3\,u^{-1}\,du = 3\ln\lvert u\rvert, \quad \int u^{-2}\,du = -u^{-1}.
Assim a primitiva geral é
3\ln\lvert u\rvert \;-\; u^{-1} \;+\; C.

Passo 5

Voltando a variável x, u=x+1, obtemos
\int \frac{3x+4}{(x+1)^{2}}\,dx = 3\ln\lvert x+1\rvert \;-\;\frac{1}{x+1} \;+\; C.
Logo
47 \;-\;\int \frac{3x+4}{(x+1)^{2}}\,dx = 47 - \Bigl(3\ln\lvert x+1\rvert - \tfrac1{x+1}\Bigr) + C = -3\ln\lvert x+1\rvert + \frac{1}{x+1} + K,
onde K=47+C é constante arbitrária.

Resposta

-3\ln\lvert x+1\rvert \;+\;\frac{1}{x+1} \;+\; C.

Exercícios relacionados