-42 Em uma região existe uma densidade de corrente uniforme de 15 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} no sentido positivo do eixo z. Determine o valor de \varphi \vec{B} \cdot d \vec{s} se a integral de linha for calculada para o percurso fechado formado por três segmentos de reta, de (4 d, 0,0) para (4 d, 3 d, 0), de (4 d, 3 d, 0) para (0,0,0) e de (0,0,0) para (4 d, 0,0 ), com d=20 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s}
para um percurso no plano z=0, sabendo que há uma densidade de corrente uniforme \,J=15\\ \mathrm{A/m^{2}} na direção positiva de z. Vamos usar a Lei de Ampère na forma integral:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s} \;=\;\mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa qualquer superfície cuja borda seja o percurso dado.

Passo 2

Precisamos calcular a área do triângulo cujos vértices no plano xy são (4d,0), (4d,3d) e (0,0). A base pode ser tomada como o segmento de comprimento 4d entre (0,0) e (4d,0) e a altura como 3d. Logo,
\text{Área} = \frac{1}{2}\times(4d)\times(3d) \;=\;6\,d^{2}.Á

Passo 3

A corrente que atravessa o triângulo é o produto da densidade de corrente pela área:
I_{\text{enc}} \;=\; J \,\times \text{Área} \;=\;15\\ \mathrm{A/m^{2}}\times 6\,d^{2} \;=\;90\,d^{2}\\ \mathrm{A}.Á

Passo 4

Aplicando a Lei de Ampère:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s} \;=\;\mu_{0}\,I_{\text{enc}} \;=\;\mu_{0}\times (90\,d^{2}).

Passo 5

Substituindo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e d=0,20\\ \mathrm{m}:
d^{2} = (0,20)^{2} =0,04\\ \mathrm{m^{2}},
I_{\text{enc}} =90\times0,04 =3,6\\ \mathrm{A},
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s} =\mu_{0}\times3,6 =4\pi\times10^{-7}\times3,6 =1{,}44\pi\times10^{-6}.

Resposta

\oint \vec{B}\cdot d\vec{s} =1{,}44\pi\times10^{-6}.

Exercícios relacionados