O movimento bidimensional de uma partícula é definido pela relação dada por r=2 b \cos \beta t[\mathrm{~m}] e \theta=\mu t^{2}[\mathrm{rad}], onde t é dado em segundos e \beta e \mu são constante de valor 0,5 \mathrm{~s}^{-1} e 5 rad. \mathrm{s}^{-2}. Determine (a) velocidade e aceleração da partícula para qualquer instante de tempo.
\begin{array}{ll} \mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t} \quad \mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{d t} \quad \mathbf{a}=a_{t} \mathbf{u}_{t}+a_{n} \mathbf{u}_{n} \quad a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho} \quad \rho=\frac{\left[1+\left(d y^{\prime} / d x\right)^{2}\right]^{3 / 2}}{\left|d^{2} y / d x^{2}\right|} \quad \mathbf{v}=v_{i} \mathbf{u}_{r}+v_{j} \mathbf{u}_{o} \\\ v_{r}=\dot{r} \quad a_{r}=\ddot{r}-\dot{r} \dot{\theta}^{2} \\\ v_{\theta}=r \dot{\theta} \quad a_{\theta}=r \dot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta} \quad \mathbf{a}=a_{r} \mathbf{u}_{r}+a_{\theta} \mathbf{u}_{\theta} \quad a d s=v d v \quad a_{t} d s=v d v \end{array}

Passo 1

O enunciado descreve o movimento de uma partícula em coordenadas polares, dadas por
r=2b\cos(\beta t),\quad \theta=\mu t^2
com \beta=0,5\\ \mathrm{s}^{-1} e \mu=5\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-2}. O conteúdo é cinemática em coordenadas polares, em que usamos as fórmulas
v_r=\dot r,\quad v_\theta=r\dot\theta,
a_r=\ddot r - r\dot\theta^2,\quad a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\,\dot\theta,
e expressamos \mathbf v=v_r\,\mathbf u_r+v_\theta\,\mathbf u_\theta e \mathbf a=a_r\,\mathbf u_r+a_\theta\,\mathbf u_\theta.

Passo 2

Calc-ulamos \dot r e \ddot r. Como
r=2b\cos(\beta t),
temos
\dot r = -2b\,\beta\sin(\beta t) = -b\sin\bigl(0,5\,t\bigr),
\ddot r = -2b\,\beta^2\cos(\beta t) = -0{,}5\,b\cos\bigl(0,5\,t\bigr).

Passo 3

Calc-ulamos \dot\theta e \ddot\theta. Como
\theta=\mu t^2,
segue
\dot\theta = 2\mu t =10\,t,
\ddot\theta = 2\mu =10.

Passo 4

Usando v_r=\dot r e v_\theta=r\dot\theta, obtemos
v_r = -b\sin\bigl(0,5\,t\bigr),
v_\theta = \bigl(2b\cos(0,5\,t)\bigr)\,(10\,t) =20\,b\,t\cos\bigl(0,5\,t\bigr).

Passo 5

Agora a_r=\ddot r - r\dot\theta^2 e a_\theta = r\ddot\theta +2\dot r\,\dot\theta. Logo
a_r = -0{,}5\,b\cos(0,5\,t) - \bigl(2b\cos(0,5\,t)\bigr)(10\,t)^2 = -b\cos(0,5\,t)\bigl(0{,}5 +200\,t^2\bigr),
a_\theta = \bigl(2b\cos(0,5\,t)\bigr)(10) + 2\bigl(-b\sin(0,5\,t)\bigr)(10\,t) =20\,b\cos(0,5\,t) -20\,b\,t\sin(0,5\,t).

Passo 6

Escrevemos as expressões vetoriais finais em base polar:
\mathbf v = -b\sin\bigl(0,5\,t\bigr)\,\mathbf u_r + 20\,b\,t\cos\bigl(0,5\,t\bigr)\,\mathbf u_\theta,
\mathbf a = -b\cos(0,5\,t)\bigl(0{,}5 +200\,t^2\bigr)\,\mathbf u_r + \bigl(20\,b\cos(0,5\,t) -20\,b\,t\sin(0,5\,t)\bigr)\,\mathbf u_\theta.

Resposta

\mathbf{v}(t) = -b \sin\bigl(0,5\,t\bigr)\,\mathbf{u}_r + 20\,b\,t \cos\bigl(0,5\,t\bigr)\,\mathbf{u}_\theta
\mathbf{a}(t) = -b \cos(0,5\,t) \bigl(0,5 + 200\,t^2\bigr)\,\mathbf{u}_r + \bigl(20\,b \cos(0,5\,t) - 20\,b\,t \sin(0,5\,t)\bigr)\,\mathbf{u}_\theta.

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