Considere uma onda estacionária que é a soma de duas ondas idênticas se propagando em sentidos opostos. Mostre que a energia cinética máxima em cada meio comprimento de onda dessa onda estacionária é 2 \pi^{2} \mu A^{2} f v.

Passo 1

O enunciado pede a energia cinética máxima, num meio comprimento de onda de uma onda estacionária formada pela superposição de duas ondas viajantes idênticas em sentidos opostos. O conteúdo envolvido é cálculo da velocidade transversal da corda, densidade linear de energia cinética e integração sobre metade de um comprimento de onda.

Passo 2

Escrevemos a forma da onda estacionária como
y(x,t) \;=\; 2A\,\sin(kx)\,\cos(\omega t),
onde A é a amplitude de cada onda viajante, k o número de onda e \omega a frequência angular. A velocidade transversal da corda é
\frac{\partial y}{\partial t} =\,-2A\,\sin(kx)\,\omega\,\sin(\omega t).

Passo 3

A energia cinética de um elemento de comprimento dx e densidade linear de massa \mu é
dK = \tfrac12\,\mu\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^{2}dx =\tfrac12\,\mu\bigl(2A\omega\,\sin(kx)\,\sin(\omega t)\bigr)^{2}dx.
No instante de energia cinética máxima temos \sin^{2}(\omega t)=1, logo
dK_{\max} =2\,\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,\sin^{2}(kx)\,dx.

Passo 4

Para obter a energia cinética máxima em meio comprimento de onda \lambda/2, integramos x de 0 a \lambda/2:
E_{K,\max} =\int_{0}^{\lambda/2}2\,\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,\sin^{2}(kx)\,dx =2\,\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,\int_{0}^{\lambda/2}\sin^{2}(kx)\,dx.
Como \int_{0}^{\lambda/2}\sin^{2}(kx)\,dx=\tfrac{\lambda}{4}, resulta
E_{K,\max} =2\,\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,\frac{\lambda}{4} =\frac{\mu\,A^{2}\,\omega^{2}\,\lambda}{2}.

Passo 5

Basta agora usar \omega=2\pi f e \lambda=v/f:
E_{K,\max} =\frac{\mu\,A^{2}\,(2\pi f)^{2}\,(v/f)}{2} =\frac{\mu\,A^{2}\,4\pi^{2}f\,v}{2} =2\,\pi^{2}\,\mu\,A^{2}\,f\,v.

Resposta

2\pi^{2}\,\mu\,A^{2}\,f\,v

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