Um feixe de elétrons de 2 eV incide sobre uma barreira de potencial retangular de 4 eV de altura e 10 \AA de espessura.
Refaça o ítem (a) para o caso onde a barreira tem uma espessura de 1 \AA.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de transmissão T de um feixe de elétrons com energia E=2\;\text{eV} atravessando uma barreira retangular de altura V_{0}=4\;\text{eV} e agora espessura L=1\;\text{\AA}. O conteúdo é tunelamento quântico em barreira de potencial, e vamos usar a fórmula exata para E<V_{0}:
T = \frac{1}{1 + \dfrac{V_{0}^{2}}{4\,E\,(V_{0}-E)}\,\operatorname{sinh}^{2}(\kappa L)}
com
\kappa = \frac{\sqrt{2\,m\,(V_{0}-E)}}{\hbar}\,.

Passo 2

Convertendo as energias para joules e definindo constantes:
\displaystyle 1\;\text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\;\text{J},
\displaystyle m=9{,}11\times10^{-31}\;\text{kg},
\displaystyle \hbar=1{,}055\times10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}.
Logo,
V_{0}-E = (4-2)\;\text{eV} = 2\times1{,}602\times10^{-19}\;\text{J} = 3{,}204\times10^{-19}\;\text{J}\,.

Passo 3

Calculando \kappa:
\kappa = \frac{\sqrt{2\,m\,(V_{0}-E)}}{\hbar} = \frac{\sqrt{2\times9{,}11\times10^{-31}\times3{,}204\times10^{-19}}}{1{,}055\times10^{-34}} \approx 7{,}2\times10^{9}\;\text{m}^{-1}.
Em unidades de \text{\AA}^{-1} (onde 1\;\text{\AA}=10^{-10}\,\text{m}), isso dá
\kappa \approx 7{,}2\times10^{9}\times10^{-10}=0{,}72\;\text{\AA}^{-1}.

Passo 4

Calculando \operatorname{sinh}(\kappa L) com L=1\;\text{\AA}:
\kappa L = 0{,}72\times1 = 0{,}72, \qquad \operatorname{sinh}(0{,}72) = \frac{e^{0,72}-e^{-0,72}}{2}\approx0{,}78,
\operatorname{sinh}^{2}(0{,}72)\approx0{,}78^{2}=0{,}61.
No fator da fórmula:
\frac{V_{0}^{2}}{4\,E\,(V_{0}-E)} = \frac{(4\;\text{eV})^{2}}{4\times2\;\text{eV}\times2\;\text{eV}} = \frac{16}{16}=1.
Portanto
T = \frac{1}{1 + 1\cdot0{,}61} = \frac{1}{1{,}61} \approx0{,}62.

Resposta

T\approx0{,}62 (ou 62\%).

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