-42 Em uma região existe uma densidade de corrente uniforme de 15 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} no sentido positivo do eixo z. Determine o valor de \varphi \vec{B} \cdot d \vec{s} se a integral de linha for calculada para o percurso fechado formado por três segmentos de reta, de (4 d, 0,0) para (4 d, 3 d, 0), de (4 d, 3 d, 0) para (0,0,0) e de (0,0,0) para (4 d, 0,0), com d=20 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    • Há uma densidade de corrente uniforme \vec{J} no sentido positivo do eixo z com módulo \,|\vec{J}|=15\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^2.
    • O percurso fechado (no plano z=0) é formado pelos três segmentos de reta com vértices:
      • A=(4d,0,0),
      • B=(4d,3d,0),
      • C=(0,0,0).
    • d=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o valor da integral de linha fechada \displaystyle \oint \vec{B}\cdot d\vec{s} ao longo do percurso dado.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática):
  • Para campos magnéticos em regime estacionário (correntes constantes), a Lei de Ampère afirma que a circulação do campo magnético ao longo de um percurso fechado é igual a \mu_0 vezes a corrente total que atravessa qualquer superfície cuja fronteira seja esse percurso. Em fórmula: \oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_0 I_{\text{enc}},onde:
    • \oint \vec{B}\cdot d\vec{s} é a integral de linha fechada (circulação) do campo magnético,
    • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} (ou \mathrm{T\,m/A}),
    • I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície escolhida.
  • Como nos foi dada uma densidade de corrente \vec{J}, a corrente atravessando a superfície S é calculada por I_{\text{enc}}=\int_S \vec{J}\cdot d\vec{S}.
    • d\vec{S} é o vetor área elementar da superfície (módulo igual à área do elemento e direção normal à superfície).
  • Observação sobre orientação: se escolhermos a superfície no plano z=0 com normal \hat{z} (posicionado para cima), então \vec{J}\cdot d\vec{S}=J\,dS porque \vec{J} está em +\hat{z}. O sinal da circulação dependerá da orientação do percurso segundo a regra da mão direita; aqui podemos calcular o valor numérico positivo \mu_0 I_{\text{enc}} assumindo que a orientação do percurso segue a regra da mão direita associada ao normal \hat{z}.

Passo 3

Determinar a área da superfície limitada pelo percurso (explicação e cálculo):
  • O percurso dado tem vértices no plano z=0: A=(4d,0), B=(4d,3d), C=(0,0). Esses três pontos formam um triângulo reto cuja base e altura são perpendiculares entre si:
    • um lado ao longo do eixo x de 0 até 4d (comprimento 4d),
    • outra dimensão vertical (no sentido y) de 0 até 3d (comprimento 3d).
  • A área do triângulo é dada por (fórmula básica de área de triângulo retângulo): \text{Área}=\tfrac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura}).Á
  • Substituindo base =4d e altura =3d: \text{Área}=\tfrac{1}{2}\cdot(4d)\cdot(3d)=6d^2.Á

Passo 4

Calcular numericamente a área usando d=0{,}20\\ \mathrm{m}:
  • Primeiro d^2=(0{,}20)^2=0{,}04\\ \mathrm{m}^2.
  • Assim \text{Área}=6d^2=6\cdot0{,}04=0{,}24\\ \mathrm{m}^2.Á

Passo 5

Calcular a corrente total atravessando a superfície (explicando o produto escalar):
  • Como \vec{J} é uniforme e paralelo ao vetor normal da superfície escolhida ( +\hat{z}), temos I_{\text{enc}}=\int_S \vec{J}\cdot d\vec{S}=J\cdot (\text{Área}).Á
  • Substituindo J=15\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^2 e \text{Área}=0{,}24\\ \mathrm{m}^2Á: I_{\text{enc}}=15\cdot0{,}24=3{,}6\\ \mathrm{A}.
  • Interpretação: a densidade de corrente de 15\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^2 atravessa a área de 0{,}24\\ \mathrm{m}^2, totalizando 3{,}6\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Aplicar a Lei de Ampère para obter a circulação e apresentar o resultado final (com explicação das constantes):
  • Pela Lei de Ampère: \oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_0 I_{\text{enc}}.
  • Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e I_{\text{enc}}=3{,}6\\ \mathrm{A}: \oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=(4\pi\times10^{-7})\cdot 3{,}6 =14{,}4\pi\times10^{-7}.
  • Valor numérico aproximado: \oint \vec{B}\cdot d\vec{s}\approx 4{,}52\times10^{-6}\\ \mathrm{T\,m}.
  • Observação sobre sinal: este valor é positivo se a orientação do percurso for tal que o vetor normal associado pela regra da mão direita a essa orientação for \hat{z} (mesma direção de \vec{J}). Se a orientação fosse oposta, o resultado teria sinal negativo.

Resposta

\displaystyle \oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_0\cdot 3{,}6\\ \mathrm{A}=4\pi\times10^{-7}\cdot 3{,}6\approx 4{,}52\times10^{-6}\\ \mathrm{T\,m}

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