-42 Em uma região existe uma densidade de corrente uniforme de
no sentido positivo do eixo
. Determine o valor de
se a integral de linha for calculada para o percurso fechado formado por três segmentos de reta, de
para
, de
para
e de
para
,
, com
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Dados fornecidos:
- Há uma densidade de corrente uniforme
no sentido positivo do eixo com módulo . - O percurso fechado (no plano
) é formado pelos três segmentos de reta com vértices: -
, -
, -
.
-
-
.
- Há uma densidade de corrente uniforme
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o valor da integral de linha fechada
ao longo do percurso dado.
- Determinar o valor da integral de linha fechada
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática):
- Para campos magnéticos em regime estacionário (correntes constantes), a Lei de Ampère afirma que a circulação do campo magnético ao longo de um percurso fechado é igual a
vezes a corrente total que atravessa qualquer superfície cuja fronteira seja esse percurso. Em fórmula: onde: -
é a integral de linha fechada (circulação) do campo magnético, -
é a permeabilidade do vácuo, (ou ), -
é a corrente total atravessando a superfície escolhida.
-
- Como nos foi dada uma densidade de corrente
, a corrente atravessando a superfície é calculada por -
é o vetor área elementar da superfície (módulo igual à área do elemento e direção normal à superfície).
-
- Observação sobre orientação: se escolhermos a superfície no plano
com normal (posicionado para cima), então porque está em . O sinal da circulação dependerá da orientação do percurso segundo a regra da mão direita; aqui podemos calcular o valor numérico positivo assumindo que a orientação do percurso segue a regra da mão direita associada ao normal .
Passo 3
Determinar a área da superfície limitada pelo percurso (explicação e cálculo):
- O percurso dado tem vértices no plano
: , , . Esses três pontos formam um triângulo reto cuja base e altura são perpendiculares entre si: - um lado ao longo do eixo
de até (comprimento ), - outra dimensão vertical (no sentido
) de até (comprimento ).
- um lado ao longo do eixo
- A área do triângulo é dada por (fórmula básica de área de triângulo retângulo):
- Substituindo base
e altura :
Passo 4
Calcular numericamente a área usando
:
- Primeiro
. - Assim
Passo 5
Calcular a corrente total atravessando a superfície (explicando o produto escalar):
- Como
é uniforme e paralelo ao vetor normal da superfície escolhida ( ), temos - Substituindo
e : - Interpretação: a densidade de corrente de
atravessa a área de , totalizando .
Passo 6
Aplicar a Lei de Ampère para obter a circulação e apresentar o resultado final (com explicação das constantes):
- Pela Lei de Ampère:
- Substituindo
e : - Valor numérico aproximado:
- Observação sobre sinal: este valor é positivo se a orientação do percurso for tal que o vetor normal associado pela regra da mão direita a essa orientação for
(mesma direção de ). Se a orientação fosse oposta, o resultado teria sinal negativo.