Explique como se relacionam as tensões de linha e de fase em uma ligação estrela. Apresente a expressão que relaciona essas grandezas e descreva o significado físico do ângulo de 30^{\circ} entre elas.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar a relação entre tensões de linha e tensões de fase numa ligação estrela e apresentar a expressão que as relaciona, além de descrever o que significa fisicamente o ângulo de 30^\circ entre elas.
Dados/condições relevantes (assumidos porque é o caso típico exigido pela questão):
  • Sistema trifásico equilibrado em ligação estrela (Y), ou seja, cada fase tem a mesma magnitude de tensão de fase V_{ph} e estão defasadas entre si por 120^\circ.
  • Notação que vou usar: \mathbf{V}_{AN}, \mathbf{V}_{BN}, \mathbf{V}_{CN} são as tensões de fase (cada uma fase para o neutro). \mathbf{V}_{AB}, \mathbf{V}_{BC}, \mathbf{V}_{CA} são as tensões de linha (entre condutores).
  • Queremos a expressão que relaciona magnitude e fase (ângulo) entre tensão de linha e tensão de fase, e entender o significado do 30^\circ.

Passo 2

Noções básicas necessárias (explicadas devagar): representação fasorial
  • Em sistemas alternados usamos fasores: um número complexo que representa amplitude e ângulo de uma grandeza senoidal. Escrevemos, por exemplo, a tensão de fase como \mathbf{V}_{AN}=V_{ph}\angle\theta_A, onde V_{ph} é a magnitude (valor eficaz) e \theta_A é a fase em graus.
  • A subtração de duas tensões (como entre dois condutores) corresponde à subtração dos seus fasores complexos. Isso é essencial: tensão entre A e B é \mathbf{V}_{AB}=\mathbf{V}_{AN}-\mathbf{V}_{BN}.

Passo 3

Definição de tensão de linha e relação fundamental
  • Tensão de linha entre A e B é a diferença de potencial entre os condutores A e B. Em fasores:
\mathbf{V}_{AB}=\mathbf{V}_{AN}-\mathbf{V}_{BN}.
  • Portanto, para relacionar magnitudes e ângulos, calculamos essa diferença considerando as tensões de fase como fasores separados por 120^\circ.

Passo 4

Escolha de referência e representação das tensões de fase (caso equilibrado)
  • Para facilitar, tomo \mathbf{V}_{AN} como referência:
\mathbf{V}_{AN}=V_{ph}\angle 0^\circ.
  • Num sistema equilibrado com sequência de fases A–B–C:
\mathbf{V}_{BN}=V_{ph}\angle -120^\circ, \qquad \mathbf{V}_{CN}=V_{ph}\angle +120^\circ.
(Escolhi essa convenção; se a sequência for oposta, os sinais dos ângulos mudam.)

Passo 5

Cálculo algébrico de \mathbf{V}_{AB}
  • Usando a fórmula da diferença:
\mathbf{V}_{AB}=\mathbf{V}_{AN}-\mathbf{V}_{BN}=V_{ph}\angle 0^\circ - V_{ph}\angle -120^\circ =V_{ph}\bigl(1 - e^{-j120^\circ}\bigr).
  • Calculo 1 - e^{-j120^\circ}. Primeiro escrevo e^{-j120^\circ}=\cos120^\circ - j\sin120^\circ.
\cos120^\circ=-\tfrac{1}{2},\qquad \sin120^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
então
e^{-j120^\circ}=-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Agora
1 - e^{-j120^\circ}=1 -\left(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Determinar magnitude e ângulo do factor anterior
  • Magnitude:
\left|\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right| =\sqrt{\left(\tfrac{3}{2}\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}} =\sqrt{\tfrac{12}{4}}=\sqrt{3}.
  • Ângulo:
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\right) =\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=30^\circ.
  • Portanto
1 - e^{-j120^\circ}=\sqrt{3}\angle 30^\circ.

Passo 7

Conclusão algébrica para \mathbf{V}_{AB}
  • Substituindo no passo anterior:
\mathbf{V}_{AB}=V_{ph}\bigl(1 - e^{-j120^\circ}\bigr) =V_{ph}\,\sqrt{3}\angle 30^\circ.
  • Isso dá a relação em fasores: a tensão de linha tem magnitude \sqrt{3} vezes a tensão de fase e está defasada de +30^\circ em relação à tensão de fase \mathbf{V}_{AN} (na convenção de referência usada e na sequência A–B–C).

Passo 8

Interpretação geométrica e física do ângulo de 30^\circ
  • Geometria dos fasores: as três tensões de fase são três vetores de mesma magnitude espalhados a 120^\circ. A tensão de linha é o vetor diferença entre dois desses vetores. No triângulo formado pelos dois vetores de fase e pela tensão de linha, a subtração geométrica resulta em um vetor maior cuja direção fica no bissetor entre os dois vetores de fase, causando o deslocamento de 30^\circ.
  • Físico: medir entre duas fases significa medir a diferença vetorial entre duas tensões oscilantes defasadas 120^\circ. Essa diferença combina componentes reais e imaginários das duas fases resultando em magnitude maior ( \sqrt{3}\,V_{ph}) e em deslocamento angular \pm 30^\circ. O sinal + ou - do 30^\circ depende da ordem de subtração (definição de \mathbf{V}_{AB}=\mathbf{V}_A-\mathbf{V}_B) e da sequência de fases; para sequência inversa o ângulo seria -30^\circ.

Passo 9

Exemplo numérico e observação prática
  • Se V_{ph}=230\\ \text{V} (fase-neutro), então a linha-linha típica é
|V_{LL}|=\sqrt{3}\cdot 230\\ \text{V}\approx 398\\ \text{V},
com \mathbf{V}_{AB} defasada 30^\circ em relação a \mathbf{V}_{AN} (na convenção usada). Por isso sistemas comerciais citam por exemplo 230/400\\ \text{V} (fase/neutro e linha/linha).

Passo 10

Resumo final curto (para decorar e usar na prova)
  • Fórmula de magnitude: |V_{LL}|=\sqrt{3}\,|V_{ph}|.
  • Forma fasorial completa (sequência A–B–C, referência em A): \mathbf{V}_{AB}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle 30^\circ.
  • O 30^\circ é a consequência geométrica da subtração vetorial de duas tensões de fase separadas por 120^\circ; o sinal do ângulo depende da sequência de fases/definição de referência.

Resposta

\mathbf{V}_{AB}=\mathbf{V}_{AN}-\mathbf{V}_{BN}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle 30^\circ (para sequência A–B–C e referência em A), portanto |V_{LL}|=\sqrt{3}\,|V_{ph}|.
O ângulo de 30^\circ significa que a tensão de linha está defasada em 30^\circ em relação à tensão de fase correspondente — resultado da subtração vetorial de duas tensões de fase separadas por 120^\circ; se a sequência de fases for invertida, o ângulo será -30^\circ.

Exercícios relacionados