A tensão em um capacitor de 40 \mu F é 25 V no instante t_{0}=0. Se a corrente no capacitor em função do tempo é dada por i(t)=6 e^{-6 t} m A, para t>0, determine v(t) para t>0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Capacitor com capacitância \;C=40\\ \mu\mathrm{F}\; (dado).
  • A tensão no capacitor no instante \;t_{0}=0\; é \;v(0)=25\\ \mathrm{V}\; (dado).
  • A corrente que atravessa o capacitor para \;t>0\; é \;i(t)=6 e^{-6 t}\\ \mathrm{mA}\; (dado).
  • O que se pede: determinar \;v(t)\; para \;t>0\; (incógnita).
Estas são todas as informações relevantes. Não começamos a resolver ainda; só organizei o que temos e o que precisamos encontrar.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicadinho): para um capacitor ideal vale a relação
i(t)=C\,\frac{dv(t)}{dt}.
Aqui:
  • \;i(t)\; é a corrente instantânea (em ampères),
  • \;C\; é a capacitância (em farads),
  • \;v(t)\; é a tensão no capacitor (em volts),
  • \;\frac{dv}{dt}\; é a derivada temporal da tensão (ou seja, a taxa de variação da tensão no tempo).
Isto significa: se você sabe a corrente, divide por C para obter a taxa de variação da tensão; daí integra para obter a tensão. É isso que faremos, usando a condição inicial \;v(0)=25\\ \mathrm{V}\; para fixar a constante de integração.

Passo 3

Antes de calcular, convertemos todas as unidades para o SI (fácil de perder pontos na prova se esquecer).
  • \;C=40\\ \mu\mathrm{F}=40\times10^{-6}\\ \mathrm{F}. Em TeX: \;C=40\cdot10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • \;i(t)=6 e^{-6 t}\\ \mathrm{mA}=6\times10^{-3} e^{-6 t}\\ \mathrm{A}. Em TeX: \;i(t)=6\cdot10^{-3} e^{-6 t}\\ \mathrm{A}.
Agora todos os números estão em unidades compatíveis (ampère e farad).

Passo 4

Aplicamos a relação \;i=C\,dv/dt\; para achar \;dv/dt\;:
\frac{dv}{dt}=\frac{i(t)}{C}=\frac{6\cdot10^{-3} e^{-6t}}{40\cdot10^{-6}}.
Fazendo a divisão passo a passo (mostro para você poder reproduzir sem calculadora):
\frac{6\cdot10^{-3}}{40\cdot10^{-6}}=\frac{6}{40}\cdot\frac{10^{-3}}{10^{-6}}=\frac{6}{40}\cdot10^{3}.
Calculando \frac{6}{40}=0{,}15 e 0{,}15\cdot10^{3}=150. Logo
\frac{dv}{dt}=150\,e^{-6t}\quad\text{(volts por segundo).}

Passo 5

Integramos para obter v(t). Lembrete de integração útil: \displaystyle\int e^{a t}\,dt=\frac{1}{a}e^{a t}+C, onde a é constante.
Aqui:
v(t)=\int 150\,e^{-6t}\,dt + K,
onde K é a constante de integração (vou determinar com a condição inicial). Integramos:
\int 150\,e^{-6t}\,dt = 150\cdot\int e^{-6t}\,dt = 150\cdot\left(-\frac{1}{6}e^{-6t}\right) = -25\,e^{-6t}.
Portanto
v(t) = -25\,e^{-6t} + K.

Passo 6

Usamos a condição inicial \;v(0)=25\\ \mathrm{V}\; para achar K:
v(0) = -25\,e^{0} + K = -25 + K = 25.
Logo K = 25 + 25 = 50.

Passo 7

Substituindo K na expressão de v(t) obtemos a solução completa:
v(t)=50 - 25\,e^{-6t}\quad\text{(volts), para }t>0.
Confere rápido (checagem que sempre salva em prova): derivando
\frac{dv}{dt}= -25\cdot(-6)\,e^{-6t}=150\,e^{-6t},
e então i(t)=C\,\frac{dv}{dt}=40\cdot10^{-6}\cdot150\,e^{-6t}=6\cdot10^{-3}e^{-6t}\\ \mathrm{A}=6 e^{-6t}\\ \mathrm{mA}, que é exatamente a corrente dada. Beleza — está consistente.

Resposta

v(t)=50-25\,e^{-6t}\\ \text{V},\quad t>0

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