A tensão em um capacitor de
é
no instante
. Se a corrente no capacitor em função do tempo é dada por
, para
, determine
para
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Capacitor com capacitância
(dado). - A tensão no capacitor no instante
é (dado). - A corrente que atravessa o capacitor para
é (dado). - O que se pede: determinar
para (incógnita).
Estas são todas as informações relevantes. Não começamos a resolver ainda; só organizei o que temos e o que precisamos encontrar.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicadinho): para um capacitor ideal vale a relação
Aqui:
-
é a corrente instantânea (em ampères), -
é a capacitância (em farads), -
é a tensão no capacitor (em volts), -
é a derivada temporal da tensão (ou seja, a taxa de variação da tensão no tempo).
Isto significa: se você sabe a corrente, divide por
para obter a taxa de variação da tensão; daí integra para obter a tensão. É isso que faremos, usando a condição inicial
para fixar a constante de integração.
Passo 3
Antes de calcular, convertemos todas as unidades para o SI (fácil de perder pontos na prova se esquecer).
-
Em TeX: -
Em TeX:
Agora todos os números estão em unidades compatíveis (ampère e farad).
Passo 4
Aplicamos a relação
para achar
:
Fazendo a divisão passo a passo (mostro para você poder reproduzir sem calculadora):
Calculando
e
. Logo
Passo 5
Integramos para obter
. Lembrete de integração útil:
, onde
é constante.
Aqui:
onde
é a constante de integração (vou determinar com a condição inicial). Integramos:
Portanto
Passo 6
Usamos a condição inicial
para achar
:
Logo
.
Passo 7
Substituindo
na expressão de
obtemos a solução completa:
Confere rápido (checagem que sempre salva em prova): derivando
e então
, que é exatamente a corrente dada. Beleza — está consistente.