42 Seja T: V3 V3 uma transformação linear tal que
T(k)=2 i+3 j+5 k, T(j+i)=i, T(i+j+k)=j-K
(a) Calcule a T(i+2 j+3 k) e determine o núcleo e o posto de T.
(b) Determine a matriz de T e de T^2, onde T^2=T o T, na base canônica. Obs.: O posto de T é a dimensão da imagem de de T, ou seja, dim Im T e a nulidade de T é a dimensão do núcleo de T, isto é, $\operatorname{dim} \operatorname{Ker}(T).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
Para achar precisamos escrever
Mas , logo

Passo 2

Observamos que as duas expressões obtidas para T(i)+T(j) são conflitantes:
(1,0,0)neq(-2,-2,-6)
Isto significa que não existe nenhum par de vetores T(i), T(j) em R^3 que satisfaça simultaneamente as três condições dadas.

Resposta

Não existe transformação linear T que satisfaça todas as três condições fornecidas, pois o sistema para T(i) e T(j) é inconsistente.

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