Encontre o vértice, foco e diretriz da parábola:
y=2 x^2-4 x+5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vértice, foco e diretriz da parábola y=2x^2-4x+5. Para isso, vamos completar o quadrado e usar a forma padrão (x-h)^2=4p(y-k) para extrair o parâmetro p.

Passo 2

Completar o quadrado na expressão de y:
y = 2x^2 - 4x + 5
y = 2(x^2 - 2x) + 5
y = 2l[(x-1)^2 - 1r] + 5
y = 2(x-1)^2 - 2 + 5
y = 2(x-1)^2 + 3

Passo 3

Reescrevendo essa forma:
y - 3 = 2(x-1)^2
Logo o vértice (h,k) é
(1,3)

Passo 4

Para colocar em (x-h)^2=4p(y-k):
(x-1)^2 = tfrac12(y-3)
Comparando com 4p(y-3), temos
4p = tfrac12
p = tfrac18

Passo 5

Como p=tfrac18>0, a parábola abre para cima. O foco fica em
(1,,3+tfrac18) = (1,,tfrac258)
e a diretriz é
y = 3 - tfrac18 = tfrac238

Resposta

Vértice: (1,3)\nFoco: \left(1,\frac{25}{8}\right)\nDiretriz: y=238

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