Para cada item a seguir, verifique se a transformação linear
é injetora. Se for descreva a imagem, e ache a fórmula de
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
dada por
Queremos verificar se
é injetora, descrever
e, caso seja injetora, encontrar a fórmula de
. Usaremos matriz de transformação, determinante, núcleo e solução de sistema linear.
Passo 2
Na base canônica,
corresponde à matriz
pois
Sabemos que
é injetora
. Calculamos
Logo
é injetora.]
Passo 3
Para ver diretamente pelo núcleo, resolvemos
Somando as equações vem . Assim
, confirmando a injetividade.
Passo 4
Como
é injetora e
, segue que
é sobrejetora. Portanto
Passo 5
Para achar
, escrevemos
e resolvemos: da segunda equação
. Substituindo na primeira,
Então
Logo