Para cada item a seguir, verifique se a transformação linear T: V2 V2 é injetora. Se for descreva a imagem, e ache a fórmula de T^-1.
T(x, y)=(2 x-y, x+y)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon V2to V2 dada por
T(x,y) = (2x - y,;x + y)
Queremos verificar se T é injetora, descrever Im(T) e, caso seja injetora, encontrar a fórmula de T^-1. Usaremos matriz de transformação, determinante, núcleo e solução de sistema linear.

Passo 2

Na base canônica, corresponde à matriz
pois
Sabemos que é injetora . Calculamos
Logo é injetora.]

Passo 3

Para ver diretamente pelo núcleo, resolvemos
Somando as equações vem . Assim , confirmando a injetividade.

Passo 4

Como Tcolon V2to V2 é injetora e dim V2=2, segue que T é sobrejetora. Portanto
Im(T)=V2

Passo 5

Para achar T^-1, escrevemos (u,v)=T(x,y)=(2x-y,x+y) e resolvemos: da segunda equação y=v-x. Substituindo na primeira,
u = 2x - (v - x) = 3x - v Longrightarrow x = u+v3
Então
y = v - u+v3 = 2v - u3
Logo
T^-1(u,v) = l(tfracu+v3,,tfrac2v - u3r)

Resposta

T é injetora, Im(T)=V2 e
T^-1(u,v) = l(tfracu+v3,,tfrac2v - u3r)

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