43 Seja W um subespaço do R^n, e seja x um vetor de R^n. Mostre que:
(a) O vetor x está em W se, e somente se, projiW(x)=x
(b) O vetor x é ortogonal a W se, e somente se, projwW(x)=0
(c) projW(projW(x))=projW(x)
(d) Se S=v1, v2, ldots, vk um conjunto ortonormal em R^n então |x|^2 >=|lang<= x, v1rang<=|^2 +|lang<= x, v2rang<=|^2+ldots+|lang<= x, vkrang<=|^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar quatro propriedades da projeção ortogonal de um vetor xinR^n num subespaço WsubseteqR^n. O ponto principal é a definição da projeção ortogonal: existe decomposição única
x = projW(x) + l(x - projW(x)r),
onde projW(x)in W e x - projW(x) é ortogonal a W. Vamos usar essa decomposição e a unicidade dela para provar (a), (b), (c) e depois a desigualdade de Bessel em (d).

Passo 2

Prova de (a): “ xin W se, e somente se, projW(x)=x”.
– Suponha xin W. Então x - x = 0 é claramente ortogonal a W, e xin W. Pela unicidade da decomposição ortogonal, a projeção de x em W só pode ser x. Logo
projW(x)=x
– Reciprocamente, se projW(x)=x, então x pertence a W pois a projeção sempre dá um vetor em W.

Passo 3

Prova de (b): “ xperp W se, e somente se, projW(x)=0”.
– Suponha xperp W. Então, em particular, x é ortogonal a qualquer vetor de W, inclusive a projW(x). Mas pela decomposição temos
0 = llang<= x - projW(x),,projW(x)rrang<= = lang<= x,projW(x)rang<= - |projW(x)|^2 = -|projW(x)|^2
Então |projW(x)|=0, i.e.\ projW(x)=0.
– Reciprocamente, se projW(x)=0, então x - 0 = x é ortogonal a W por definição da projeção.

Passo 4

Prova de (c): “ projWl(projW(x)r)=projW(x)”.
Como projW(x)in W, do item (a) segue imediatamente que a projeção de algo que já está em W é ele próprio. Logo
projWl(projW(x)r) =projW(x)

Passo 5

Prova de (d): desigualdade de Bessel.
Seja S=v1,dots,vk um conjunto ortonormal e seja W=spanS. Então
projW(x) =sumi=1^klang<= x,virang<=,vi
Pela decomposição ortogonal e o Teorema de Pitágoras,
|x|^2 =l|projW(x)r|^2 +l|x-projW(x)r|^2 ;>=; l|projW(x)r|^2
Mas
l|projW(x)r|^2 =llang<=sumilang<= x,virang<= vi,,sumjlang<= x,vjrang<= vjrrang<= =sumi=1^kl|lang<= x,virang<=r|^2
Daí
|x|^2 >= sumi=1^kl|lang<= x,virang<=r|^2

Resposta

(a) ,xin Wiff projW(x)=x
(b) ,xperp Wiff projW(x)=0
(c) ,projWl(projW(x)r)=projW(x)
(d) ,|x|^2>=sumi=1^kl|lang<= x,virang<=r|^2

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