43 Seja um subespaço do , e seja um vetor de . Mostre que:
(a) O vetor está em se, e somente se,
(b) O vetor é ortogonal a se, e somente se,
(c)
(d) Se um conjunto ortonormal em então .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar quatro propriedades da projeção ortogonal de um vetor num subespaço . O ponto principal é a definição da projeção ortogonal: existe decomposição única
onde e é ortogonal a . Vamos usar essa decomposição e a unicidade dela para provar (a), (b), (c) e depois a desigualdade de Bessel em (d).
Passo 2
Prova de (a): “ se, e somente se, ”.
– Suponha . Então é claramente ortogonal a , e . Pela unicidade da decomposição ortogonal, a projeção de em só pode ser . Logo
– Reciprocamente, se , então pertence a pois a projeção sempre dá um vetor em .
Passo 3
Prova de (b): “ se, e somente se, ”.
– Suponha . Então, em particular, é ortogonal a qualquer vetor de , inclusive a . Mas pela decomposição temos
Então , i.e.\ .
– Reciprocamente, se , então é ortogonal a por definição da projeção.
Passo 4
Prova de (c): “”.
Como , do item (a) segue imediatamente que a projeção de algo que já está em é ele próprio. Logo
Passo 5
Prova de (d): desigualdade de Bessel.
Seja um conjunto ortonormal e seja . Então
Pela decomposição ortogonal e o Teorema de Pitágoras,