P5.42 The mean solar flux at Earth’s surface is \sim 2.00 \mathrm{~J} \mathrm{cm}^{-2} \mathrm{~min}^{-1}. In a nonfocusing solar collector, the temperature reaches a value of 79.5^{\circ} \mathrm{C}. A heat engine is operated using the collector as the hot reservoir and a cold reservoir at 298 K . Calculate the area of the collector needed to produce 1000. W. Assume that the engine operates at the maximum Carnot efficiency.

Passo 1

O que o enunciado fornece e o que pede:
  • Fluxo de radiação solar na superfície: \;2,00\\ \mathrm{J\\ cm^{-2}\\ min^{-1}}.
  • Temperatura do coletor (reservatório quente): \;79{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do reservatório frio: \;298\\ \mathrm{K}.
  • Potência elétrica desejada de saída do motor: \;1000\\ \mathrm{W}.
  • Condição: coletor não focalizante (recebe o fluxo distribuído sobre sua área) e motor opera com a máxima eficiência de Carnot.
O que se deve calcular:
  • A área do coletor necessária para fornecer calor suficiente de modo que, operando na eficiência de Carnot entre as temperaturas dadas, o motor entregue \;1000\\ \mathrm{W}.

Passo 2

Converter temperaturas e o fluxo para unidades úteis.
  • Converter a temperatura do coletor para Kelvin:
T_h = 79{,}5^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 352{,}65\\ \mathrm{K}.
  • A temperatura fria já está em Kelvin: T_c = 298\\ \mathrm{K}.
  • Converter o fluxo solar para \mathrm{W\\ m^{-2}}. Começando por transformar \mathrm{J\\ cm^{-2}\\ min^{-1}} em \mathrm{W\\ cm^{-2}} e depois para \mathrm{W\\ m^{-2}}:
2{,}00\\ \mathrm{J\\ cm^{-2}\\ min^{-1}} = 2{,}00\cdot\frac{1}{60}\\ \mathrm{W\\ cm^{-2}} = 0{,}033333\ldots\\ \mathrm{W\\ cm^{-2}}.
Como 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}, multiplica-se por 10^{4} para obter \mathrm{W\\ m^{-2}}:
\Phi = 0{,}033333\ldots \times 10^{4} = 333{,}33\ldots\\ \mathrm{W\\ m^{-2}}.
(Para cálculos rótais usaremos \Phi=333{,}33\\ \mathrm{W\\ m^{-2}}.)

Passo 3

Explicar a eficiência de Carnot e como ela entra no problema.
  • A eficiência máxima (Carnot) de um motor térmico operando entre um reservatório quente a T_h e um frio a T_c é
\eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
  • Essa eficiência \eta_C é a fração do calor absorvido do reservatório quente que pode ser convertida em trabalho útil (potência elétrica neste caso). Se o motor entrega potência de saída P_{\text{out}} e absorve calor por unidade de tempo \dot{Q}_h do coletor, então
P_{\text{out}} = \eta_C\,\dot{Q}_h \quad\Rightarrow\quad \dot{Q}_h = \frac{P_{\text{out}}}{\eta_C}.
  • O coletor deve fornecer esse \dot{Q}_h via radiação solar incidente sobre sua área A:
\dot{Q}_h = \Phi \, A \quad\Rightarrow\quad A = \frac{\dot{Q}_h}{\Phi} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta_C\,\Phi}.

Passo 4

Calcular numericamente a eficiência de Carnot.
  • Primeiro avaliar \eta_C:
\eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{298}{352{,}65}.
Fazendo a divisão:
\frac{298}{352{,}65} \approx 0{,}845043,
portanto
\eta_C \approx 1 - 0{,}845043 = 0{,}154957.
Ou seja, a eficiência máxima é aproximadamente 15{,}50\%.

Passo 5

Calcular a potência térmica requerida do coletor.
  • Usando \dot{Q}_h = P_{\text{out}}/\eta_C com P_{\text{out}} = 1000\\ \mathrm{W}:
\dot{Q}_h = \frac{1000\\ \mathrm{W}}{0{,}154957} \approx 6451{,}65\\ \mathrm{W}.
Portanto o coletor precisa fornecer cerca de \;6451{,}65\\ \mathrm{W} de calor por segundo.

Passo 6

Calcular a área do coletor necessária.
  • Usando A = \dot{Q}_h / \Phi com \Phi = 333{,}33\\ \mathrm{W\\ m^{-2}}:
A = \frac{6451{,}65\\ \mathrm{W}}{333{,}33\\ \mathrm{W\\ m^{-2}}} \approx 19{,}35495\\ \mathrm{m^2}.
  • Arredondando com base nas cifras significativas dos dados (fluxo dado como 2{,}00 com três algarismos), uma resposta razoável é
A \approx 19{,}4\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Breve comentário encorajador (rápido):
  • Pronto — são necessários cerca de 19{,}4\\ \mathrm{m^2} de coletor não focalizante para alimentar um motor de 1000\\ \mathrm{W} à eficiência de Carnot entre 79{,}5^\circ\mathrm{C} e 298\\ \mathrm{K}. Dá para visualizar: um retângulo de 4{,}4\\ \mathrm{m} por 4{,}4\\ \mathrm{m} já chega perto. Vai dar certo — respira e segue estudando!

Resposta

19{,}4\\ \mathrm{m}^2

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