P5.33 A refrigerator is operated by a 0.25-\mathrm{hp}(1 \mathrm{hp}= 746 watts) motor. If the interior is to be maintained at 4.50^{\circ} \mathrm{C} and the room temperature on a hot day is 38^{\circ} \mathrm{C}, what is the maximum heat leak (in watts) that can be tolerated? Assume that the coefficient of performance is 50.% of the maximum theoretical value. What happens if the leak is greater than your calculated maximum value?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente):
  • Potência do motor: 0,25\\ \mathrm{hp} com 1\\ \mathrm{hp}=746\\ \mathrm{W}.
  • Temperatura interior (frigorífico): 4,50^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente (sala quente): 38^\circ\mathrm{C}.
  • A eficiência real do refrigerador (coeficiente de performance) é 50\% do valor teórico máximo.
O que o problema pede:
  1. Determinar o máximo vazamento de calor (em watts) que pode ser tolerado para manter o interior a 4,50^\circ\mathrm{C}, dado o motor e a eficiência indicada.
  2. Explicar o que acontece se o vazamento for maior do que esse valor máximo.

Passo 2

Converter a potência do motor para watts (porque queremos resposta em watts). A potência fornecida é 0,25\\ \mathrm{hp} e 1\\ \mathrm{hp}=746\\ \mathrm{W}. Então a potência elétrica disponível para o refrigerador é
W_{\text{in}} = 0,25 \times 746\\ \mathrm{W}.
Vou calcular isso passo a passo:
W_{\text{in}} = 0,25\cdot 746 = 186,5\\ \mathrm{W}.
Portanto W_{\text{in}}=186,5\\ \mathrm{W}. (Isto é a potência que o motor pode fornecer para remover calor.)

Passo 3

Explicar o conceito de coeficiente de performance (COP) e a expressão teórica máxima (Carnot) para um refrigerador.
  • O coeficiente de performance de um refrigerador é definido como a razão entre a taxa de calor removida do interior ( Q_L) e o trabalho de entrada ( W_{\text{in}}):
\text{COP} = \frac{Q_L}{W_{\text{in}}}.
Isto significa: para cada watt de trabalho, quantos watts de calor são retirados do interior.
  • O máximo teórico (para um ciclo reversível operando entre duas temperaturas) é o COP de Carnot para refrigerador, dado por
\text{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{T_L}{T_H - T_L},
onde T_L é a temperatura do espaço frio e T_H é a temperatura do ambiente, ambas em kelvin. É imprescindível usar kelvin aqui porque a fórmula vem da termodinâmica e exige temperaturas absolutas.

Passo 4

Converter as temperaturas para kelvin e calcular \text{COP}_{\text{Carnot}}.
  • Converter:
T_L = 4,50^\circ\mathrm{C} = 4,50 + 273,15 = 277,65\\ \mathrm{K},
T_H = 38^\circ\mathrm{C} = 38 + 273,15 = 311,15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular a diferença:
T_H - T_L = 311,15 - 277,65 = 33,50\\ \mathrm{K}.
  • Agora a fórmula:
\text{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{277,65}{33,50}.
Calculemos:
\text{COP}_{\text{Carnot}} \approx 8,2895522388.
(Arredondando convenientemente: \text{COP}_{\text{Carnot}}\approx 8,29.)

Passo 5

Determinar o COP real usando o dado de que o COP é 50\% do valor teórico.
  • Assim,
\text{COP}_{\text{real}} = 0,50 \times \text{COP}_{\text{Carnot}} = 0,50 \times \frac{277,65}{33,50}.
Uma forma equivalente (que simplifica cálculo) é:
\text{COP}_{\text{real}} = \frac{277,65}{67,00} \approx 4,1447761194.
(Arredondando: \text{COP}_{\text{real}}\approx 4,14.)

Passo 6

Relacionar COP, potência de entrada e capacidade de remoção de calor para achar o máximo vazamento tolerável.
  • Pelo definição de COP:
Q_{L,\max} = \text{COP}_{\text{real}}\cdot W_{\text{in}}.
Substituindo os valores que já temos:
Q_{L,\max} = \left(\frac{277,65}{67,00}\right)\cdot 186,5\\ \mathrm{W}.
Calculemos:
Q_{L,\max} \approx 4,1447761194 \times 186,5\\ \mathrm{W} = 773,0\\ \mathrm{W}.
Portanto o refrigerador, com esse motor e eficiência, pode remover no máximo aproximadamente 773,0\\ \mathrm{W} do interior; esse é o máximo vazamento de calor que pode ser tolerado mantendo 4,50^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretar fisicamente o que acontece se o vazamento for maior que esse valor.
  • Se o vazamento de calor do ambiente para o interior for maior do que 773,0\\ \mathrm{W}, a máquina não conseguirá retirar calor com rapidez suficiente para manter a temperatura interna em 4,50^\circ\mathrm{C}. Na prática:
    • A temperatura interna começará a subir até atingir um novo ponto de equilíbrio onde a taxa de perda de calor para o ambiente (agora maior) seja igual à taxa que o refrigerador consegue remover — esse novo ponto será mais quente que 4,50^\circ\mathrm{C}.
    • O compressor/refrigerador provavelmente ficará ligado praticamente o tempo todo (ciclos longos ou contínuos), aumentando o desgaste e o consumo de energia; se for forçado além de seus limites, pode sobrecarregar o motor ou acionar dispositivos de proteção térmica.
    • Em resumo: o conjunto não consegue manter a temperatura desejada; ou seja, o desempenho é insuficiente.

Resposta

773,0\\ \mathrm{W}
Se o vazamento for maior que 773,0\\ \mathrm{W}, o refrigerador não consegue manter 4,50^\circ\mathrm{C}; a temperatura interna vai subir até um novo equilíbrio mais alto e o compressor ficará continuamente sobrecarregado.

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