P5.40 21.05 g of steam at 373 K is added to 415 g of \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(l) at 298 K at a constant pressure of 1 bar . Is the final state of the system steam or liquid water? Calculate \Delta S for the process.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Massa do vapor (steam): m_s = 21{,}05\\ \mathrm{g} = 0{,}02105\\ \mathrm{kg}.
    • Temperatura do vapor: T_{\text{vapor}} = 373\\ \mathrm{K}.
    • Massa da água líquida inicial: m_\ell = 415\\ \mathrm{g} = 0{,}415\\ \mathrm{kg}.
    • Temperatura da água líquida inicial: T_{\ell,i} = 298\\ \mathrm{K}.
    • Processo a pressão constante: 1\\ \text{bar} (logo a temperatura de saturação do vapor é 373\\ \mathrm{K}).
  • O enunciado pede:
    1. Determinar se o estado final do sistema é vapor (steam) ou água líquida.
    2. Calcular \Delta S do processo (variação de entropia do sistema água+vapor).

Passo 2

Estratégia física e fórmulas que vamos usar (explicando com calma para você poder repetir na prova).
  • Conservação de energia (primeira lei): como o sistema é isolado termicamente do exterior (o enunciado não menciona troca de calor com ambiente), toda energia liberada pela condensação e pelo resfriamento do vapor condensado aquece a água inicial. Vamos escrever um balanço de calor para encontrar a temperatura final T_f.
  • Latent heat (calor latente de vaporização): para condensar vapor a 373\\ \mathrm{K} é preciso liberar L_v por quilograma. Vou usar o valor usual para água a 100^\circ\mathrm{C}: L_v = 2{,}257\times10^{6}\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}}.Explicação: L_v é a energia por unidade de massa que é liberada (quando vapor condensa) ou absorvida (quando líquido evapora) sem mudança de temperatura.
  • Calor sensível (capacidade térmica): para variar a temperatura da água líquida usaremos a capacidade térmica massica quase constante c = 4{,}184\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}K^{-1}}.Explicação: c indica quanto calor (J) é necessário para elevar 1 kg de água em 1 K.
  • Entropia: para calcular \Delta S do sistema (água + vapor) usamos que a entropia é uma função de estado; mesmo sendo o processo real irreversível, \Delta S entre dois estados é igual à integral reversível \int \dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}. Para as partes:
    • Condensação do vapor a T_{\text{sat}}=373\\ \mathrm{K}: variação de entropia associada é -m_s L_v / T_{\text{sat}} (negativa porque o vapor perde calor e passa a líquido).
    • Resfriamento/arrefecimento de água líquida ou do condensado entre duas temperaturas T_1 e T_2: \Delta S = m c \ln\!\big(\dfrac{T_2}{T_1}\big).
  • Procedimento resumo:
    1. Verificar se a energia liberada ao condensar TODO o vapor e depois ao resfriar o condensado até T_f é suficiente para aquecer a massa líquida até 373\\ \mathrm{K}. Se não for, então TODO o vapor condensa e o estado final é líquido abaixo de 373\\ \mathrm{K}. Se for suficiente, poderá sobrar vapor (condensação parcial) e então o equilíbrio será a 373\\ \mathrm{K} com mistura líquida+vapor.
    2. Fazer balanço de energia para encontrar T_f.
    3. Calcular \Delta S somando as contribuições dos componentes (vapor → líquido condensado → resfriado; água líquida inicial → aquecida).

Passo 3

Converter massas e calcular calores aproximados para decidir se todo o vapor condensa.
  • Massas em kg: m_s = 0{,}02105\\ \mathrm{kg}, m_\ell = 0{,}415\\ \mathrm{kg}.
  • Calor necessário para aquecer toda a água líquida de 298\\ \mathrm{K} até 373\\ \mathrm{K}: Q_{\text{necessário}} = m_\ell c (373-298).áSubstituindo: Q_{\text{necessário}} = 0{,}415\cdot 4{,}184\times10^{3}\cdot 75.áVamos calcular passo a passo: 4{,}184\times10^{3}\cdot 75 = 313{,}800\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}},
Q_{\text{necessário}} = 0{,}415\cdot 313{,}800 \approx 130{,}227\\ \mathrm{J}.á
  • Calor liberado se todo o vapor condensar (apenas o calor latente, supondo condensação a 373\\ \mathrm{K}): Q_{\text{latente}} = m_s L_v = 0{,}02105\cdot 2{,}257\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Q_{\text{latente}} \approx 47{,}510\\ \mathrm{J}.
  • Comparação: Q_{\text{latente}} ( \approx 47{,}5\\ \mathrm{kJ}) é muito menor que Q_{\text{necessário}}á ( \approx 130{,}2\\ \mathrm{kJ}). Conclusão: mesmo condensando todo o vapor à 373\\ \mathrm{K}, a energia liberada não é suficiente para aquecer toda a água até 373\\ \mathrm{K}. Portanto TODO o vapor condensa e o sistema final será inteiramente líquido com temperatura T_f < 373\\ \mathrm{K}.
Observação intuitiva: pouca massa de vapor (21 g) não tem calor latente suficiente para aquecer 415 g de água do ambiente até 100 °C.

Passo 4

Balanço de energia para encontrar a temperatura final T_f (toda massa no final é líquida).
  • O calor liberado pela condensação do vapor mais o calor liberado quando o condensado (a água que veio do vapor) esfria de 373 até T_f vai aquecer a água líquida inicial de 298 até T_f. Escrevendo isto: m_s L_v + m_s c (373 - T_f) = m_\ell c (T_f - 298).Explicação: o primeiro termo é energia liberada durante a condensação; o segundo é energia liberada ao resfriar o condensado; o lado direito é a energia absorvida pela água inicial ao aquecer.
  • Isolando T_f: m_s L_v + m_s c\cdot 373 + m_\ell c\cdot 298 = c (m_s + m_\ell) T_f,portanto T_f = \dfrac{m_s L_v + c\big(m_s\cdot 373 + m_\ell\cdot 298\big)}{c\,(m_s + m_\ell)}.Vamos substituir números e calcular.

Passo 5

Cálculo numérico de T_f.
  • Já temos: m_s L_v \approx 0{,}02105\cdot 2{,}257\times10^{6} \approx 47{,}510\\ \mathrm{J}.
  • Calcular c\big(m_s\cdot 373 + m_\ell\cdot 298\big): m_s\cdot 373 = 0{,}02105\cdot 373 \approx 7{,}8517\\ \mathrm{kg\cdot K},
m_\ell\cdot 298 = 0{,}415\cdot 298 = 123{,}67\\ \mathrm{kg\cdot K},
m_s\cdot 373 + m_\ell\cdot 298 \approx 131{,}5217.
c\big(\cdots\big) = 4{,}184\times10^{3}\cdot 131{,}5217 \approx 550{,}287\\ \mathrm{J}.
  • Denominador: c (m_s + m_\ell) = 4{,}184\times10^{3}\cdot 0{,}43605 \approx 1{,}824{,}43\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
  • Numerador: 47{,}510 + 550{,}287 \approx 597{,}797\\ \mathrm{J}.
  • Finalmente: T_f \approx \dfrac{597{,}797}{1{,}824{,}43} \approx 327{,}7\\ \mathrm{K}.Em graus Celsius: T_f \approx 327{,}7 - 273{,}15 \approx 54{,}6^\circ\mathrm{C}.
Conclusão intermediária: O estado final é água líquida à temperatura aproximada \,T_f = 327{,}7\\ \mathrm{K}\\ (\approx 54{,}6^\circ\mathrm{C}).

Passo 6

Calcular a variação de entropia total \Delta S do sistema (vapor + água líquida) explicando cada termo.
  • Como dito antes, usamos um caminho reversível equivalente para calcular \Delta S entre os estados iniciais e finais. A variação total é soma das variações das massas:
    1. Vapor (massa m_s) sofre duas etapas (no caminho reversível imaginado):
      • Condensação reversível a T_{\text{sat}}=373\\ \mathrm{K}: variação de entropia \Delta S_{\text{cond}} = -\dfrac{m_s L_v}{373}.(negativa: calor saiu do vapor)
      • Resfriamento do líquido formado (o condensado) de 373 para T_f: \Delta S_{\text{cond\_cool}} = m_s c \ln\!\left(\dfrac{T_f}{373}\right).
    2. Água líquida inicial (massa m_\ell) é aquecida reversivelmente de 298 para T_f: \Delta S_{\ell} = m_\ell c \ln\!\left(\dfrac{T_f}{298}\right).
  • Portanto a variação total:
    \Delta S = -\dfrac{m_s L_v}{373} + m_s c \ln\!\left(\dfrac{T_f}{373}\right) + m_\ell c \ln\!\left(\dfrac{T_f}{298}\right).

Passo 7

Inserir números e computar cada termo com explicações.
  • Primeiro termo (condensação):
    -\dfrac{m_s L_v}{373} = -\dfrac{0{,}02105\cdot 2{,}257\times10^{6}}{373} \approx -127{,}4\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
    Interpretação: quando o vapor condensa a 373\\ \mathrm{K} ele perde essa quantidade de entropia.
  • Segundo termo (resfriamento do condensado de 373 para T_f):
    m_s c \ln\!\left(\dfrac{T_f}{373}\right) = 0{,}02105\cdot 4{,}184\times10^{3}\cdot \ln\!\left(\dfrac{327{,}7}{373}\right).
    Calculando:
    m_s c \approx 88{,}12\\ \mathrm{J\\ K^{-1}},\qquad \ln\!\left(\dfrac{327{,}7}{373}\right)\approx -0{,}129.
\Rightarrow \Delta S_{\text{cond\_cool}} \approx -11{,}4\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
  • Terceiro termo (aquecimento da água inicial de 298 para T_f): m_\ell c \ln\!\left(\dfrac{T_f}{298}\right) = 0{,}415\cdot 4{,}184\times10^{3}\cdot \ln\!\left(\dfrac{327{,}7}{298}\right).Calculando: m_\ell c \approx 1{,}736{,}36\\ \mathrm{J\\ K^{-1}},\qquad \ln\!\left(\dfrac{327{,}7}{298}\right)\approx 0{,}0959.
\Rightarrow \Delta S_{\ell} \approx 166{,}5\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
  • Soma das contribuições: \Delta S \approx -127{,}4 -11{,}4 +166{,}5 \approx 27{,}7\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.
Interpretação física curta: \Delta S>0, como esperado para um processo irreversível espontâneo dentro de um sistema isolado — a entropia total do sistema aumentou.

Resposta

Estado final: água líquida a T_f \approx 327{,}7\\ \mathrm{K} ( \approx 54{,}6^\circ\mathrm{C}).
\Delta S \approx 27{,}7\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.

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