3.41 Considere uma esfera de alumínio, oca, de raio interno r_{i}=2 \mathrm{~cm}, raio externo r_{0}=6 \mathrm{~cm} e condutividade térmica k=200 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). A superfície interna é mantida a uma temperatura uniforme T_{i}=100^{\circ} \mathrm{C}, e a superfície externa dissipa calor convectivamente com um coeficiente de transferência de calor h_{x}=80 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) para o ar ambiente à temperatura T_{*}=20^{\circ} \mathrm{C}. Determine a temperatura da superfície externa da esfera e a taxa de transferència do calor da esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica de alumínio oca com:
  • raio interno \,r_{i}=2\\ \mathrm{cm}=\,0,02\\ \mathrm{m}\,,
  • raio externo \,r_{o}=6\\ \mathrm{cm}=\,0,06\\ \mathrm{m}\,,
  • condutividade térmica \,k=200\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}})\,,
  • superfície interna mantida à temperatura uniforme \,T_{i}=100{^\circ\mathrm{C}}\,,
  • superfície externa dissipando por convecção com coeficiente \,h=80\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}})\, para o ar ambiente à temperatura \,T_{*}=20{^\circ\mathrm{C}}\,.
O que se pede:
  1. Determinar a temperatura da superfície externa da esfera \,T_{o}\,.
  2. Determinar a taxa de transferência de calor da esfera \,\dot{Q}\,.
Listei acima todos os dados numéricos relevantes do enunciado.

Passo 2

Ideia física e modelo usado (passo-a-passo didático).
  • Em regime estacionário unidimensional radial numa casca esférica, a taxa de calor radial \,\dot{Q}\, é a mesma em qualquer seção esférica. A condução radial obedece à lei de Fourier em coordenadas esféricas.
  • A área de uma superfície esférica de raio r é \,A(r)=4\pi r^{2}\,.
  • A equação diferencial por separação dá, para fluxo radial constante:
\dot{Q}=-k\,A(r)\,\frac{dT}{dr}=-k\,4\pi r^{2}\frac{dT}{dr}.
Isolando e integrando entre r_{i} e r_{o} obtém-se a queda de temperatura por condução através da casca:
T_{i}-T_{o}=\frac{\dot{Q}}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{i}}-\frac{1}{r_{o}}\right).
  • Isso permite definir a resistência térmica por condução da casca esférica:
R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{i}}-\frac{1}{r_{o}}\right),
pois \,T_{i}-T_{o}=\dot{Q}\,R_{\text{cond}}\,.
  • Na superfície externa ocorre convecção para o ambiente. A resistência térmica convectiva é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA_{o}}=\frac{1}{h\,4\pi r_{o}^{2}},
e a queda total de temperatura entre \,T_{i}\, e \,T_{*}\, é
T_{i}-T_{*}=\dot{Q}\left(R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}\right).
  • Então o método: calcular R_{\text{cond}} e R_{\text{conv}}, obter \dot{Q}=(T_{i}-T_{*})/(R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}) e depois T_{o}=T_{i}-\dot{Q}\,R_{\text{cond}} (ou T_{o}=T_{*}+\dot{Q}\,R_{\text{conv}}).

Passo 3

Converter unidades e calcular as áreas e resistências (com contas claras).
  • Raios em metros: \,r_{i}=0,02\\ \mathrm{m}\,, \,r_{o}=0,06\\ \mathrm{m}\,.
  • Área externa:
A_{o}=4\pi r_{o}^{2}=4\pi(0,06)^{2}=4\pi(0,0036)=0,0144\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Numericamente
A_{o}\approx 0,0144\cdot 3{,}14159265\approx 0,0452389\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Resistência por condução (usar a fórmula deduzida):
R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{i}}-\frac{1}{r_{o}}\right).
Substituindo números:
R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi\cdot 200}\left(\frac{1}{0,02}-\frac{1}{0,06}\right) =\frac{1}{800\pi}\left(50-16{,}666\ldots\right).
Como 50-16{,}666\ldots=33{,}333\ldots temos
R_{\text{cond}}=\frac{33{,}333\ldots}{800\pi}=\frac{1}{24\pi}\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Numericamente
R_{\text{cond}}\approx \frac{1}{24\cdot 3{,}14159265}\approx 0,0132621\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Resistência convectiva:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA_{o}}=\frac{1}{80\cdot 0,0452389}\approx \frac{1}{3{,}6191147}\approx 0,276276\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 4

Calcular a taxa de calor \dot{Q}.
  • Resistência total:
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}\approx 0,0132621+0,276276\approx 0,289538\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Diferença de temperatura disponível:
T_{i}-T_{*}=100-20=80\\ {^\circ\mathrm{C}}.
  • Então
\dot{Q}=\frac{T_{i}-T_{*}}{R_{\text{tot}}}=\frac{80}{0,289538}\approx 276{,}35\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Calcular a temperatura da superfície externa \,T_{o}\,.
Duas formas equivalentes; uso ambas para conferir:
  • Pela queda na condução:
T_{o}=T_{i}-\dot{Q}\,R_{\text{cond}}=100-\;276{,}35\cdot 0,0132621\approx 100-3{,}659\approx 96{,}34{^\circ\mathrm{C}}.
  • Pela convecção:
T_{o}=T_{*}+\dot{Q}\,R_{\text{conv}}=20+\;276{,}35\cdot 0,276276\approx 20+76{,}34\approx 96{,}34{^\circ\mathrm{C}}.
As duas formas coincidem (boa verificação numérica).
Observação física: a maior queda de temperatura ocorre no contato com o ar (resistência convectiva) porque R_{\text{conv}} é muito maior que R_{\text{cond}}. Por isso a superfície externa fica bem próxima de T_{i} (só cerca de 3{,}7{^\circ\mathrm{C}} abaixo de T_{i}).

Resposta

T_{o}\approx 96{,}34{^\circ\mathrm{C}}
\dot{Q}\approx 276{,}35\\ \mathrm{W}

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