3.41 Considere uma esfera de alumínio, oca, de raio interno
, raio externo
e condutividade térmica
. A superfície interna é mantida a uma temperatura uniforme
, e a superfície externa dissipa calor convectivamente com um coeficiente de transferência de calor
para o ar ambiente à temperatura
. Determine a temperatura da superfície externa da esfera e a taxa de transferència do calor da esfera.
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica de alumínio oca com:
- raio interno
, - raio externo
, - condutividade térmica
, - superfície interna mantida à temperatura uniforme
, - superfície externa dissipando por convecção com coeficiente
para o ar ambiente à temperatura .
O que se pede:
- Determinar a temperatura da superfície externa da esfera
. - Determinar a taxa de transferência de calor da esfera
.
Listei acima todos os dados numéricos relevantes do enunciado.
Passo 2
Ideia física e modelo usado (passo-a-passo didático).
- Em regime estacionário unidimensional radial numa casca esférica, a taxa de calor radial
é a mesma em qualquer seção esférica. A condução radial obedece à lei de Fourier em coordenadas esféricas. - A área de uma superfície esférica de raio
é . - A equação diferencial por separação dá, para fluxo radial constante:
Isolando e integrando entre
e
obtém-se a queda de temperatura por condução através da casca:
- Isso permite definir a resistência térmica por condução da casca esférica:
pois
.
- Na superfície externa ocorre convecção para o ambiente. A resistência térmica convectiva é
e a queda total de temperatura entre
e
é
- Então o método: calcular
e , obter e depois (ou ).
Passo 3
Converter unidades e calcular as áreas e resistências (com contas claras).
- Raios em metros:
, . - Área externa:
Numericamente
- Resistência por condução (usar a fórmula deduzida):
Substituindo números:
Como
temos
Numericamente
- Resistência convectiva:
Passo 4
Calcular a taxa de calor
.
- Resistência total:
- Diferença de temperatura disponível:
- Então
Passo 5
Calcular a temperatura da superfície externa
.
Duas formas equivalentes; uso ambas para conferir:
Duas formas equivalentes; uso ambas para conferir:
- Pela queda na condução:
- Pela convecção:
As duas formas coincidem (boa verificação numérica).
Observação física: a maior queda de temperatura ocorre no contato com o ar (resistência convectiva) porque
é muito maior que
. Por isso a superfície externa fica bem próxima de
(só cerca de
abaixo de
).