3.45 Uma esfera de diâmetro externo D=10 \mathrm{~cm}, mantida a uma temperatura uniforme T_{i}=225^{\circ} \mathrm{C}, está exposta a um ambiente a T_{*}=25^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente de ransferência convectiva de calor h=50 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Calcule a espessura do isolamento \left[k=0,08 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right] necessário para reduzir de 83 \% a taxa de perda de calor enquanto a esfera é mantida a T_{1}=225^{\circ} \mathrm{C} ).

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a espessura do isolamento necessário para reduzir em 83\% a taxa de perda de calor de uma esfera quente mantida a T_{1}=225^\circ\mathrm{C}, exposta a um ambiente a T_{*}=25^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
  • Diâmetro externo da esfera (sem isolamento): D=10\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura da esfera: T_{1}=225^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente: T_{*}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção: h=50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
  • Condutividade térmica do isolamento: k=0,08\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
    O que se pede: achar a espessura do isolamento (ou seja, a diferença entre o raio externo com isolamento e o raio original da esfera) que reduz em 83\% a taxa de perda de calor.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas importantes (explicação didática).
  • Sem isolamento, a esfera perde calor por convecção na sua superfície externa de raio r_1. A resistência térmica por convecção é
R_0 = \frac{1}{h\cdot 4\pi r_1^2},
onde r_1 é o raio externo da esfera sem isolamento, h é o coeficiente de convecção e 4\pi r_1^2 é a área da esfera.
  • Com isolamento (camada esférica, de raio externo r_2), o calor sai por condução através do isolamento e depois por convecção da superfície externa do isolamento. As resistências são em série:
    • Resistência à condução através de uma casca esférica (entre raios r_1 e r_2):
    R_{\text{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right),onde k é a condutividade térmica do isolamento.
    • Resistência convectiva na superfície externa de raio r_2:
    R_{\text{conv,2}}=\frac{1}{h\cdot 4\pi r_2^2}.
  • A resistência total com isolamento é
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv,2}}.
  • A taxa de calor é dada por (diferença de temperatura dividida pela resistência):
\dot{Q}=\frac{T_{1}-T_{*}}{R}.
Assim, reduzir a taxa de perda de calor em 83\% significa que a nova taxa é 17\% da original:
\dot{Q}_{\text{novo}}=0,17\,\dot{Q}_0.
Como \dot{Q}\propto 1/R, tem-se
\frac{\dot{Q}_{\text{novo}}}{\dot{Q}_0}=\frac{R_0}{R_{\text{tot}}}=0,17 \quad\Rightarrow\quad R_{\text{tot}}=\frac{R_0}{0,17}.

Passo 3

Calcular os valores numéricos iniciais e escrever a equação para r_2.
  • Raio inicial da esfera (metade do diâmetro):
r_1=\frac{D}{2}=\frac{0,10\\ \mathrm{m}}{2}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Resistência convectiva sem isolamento:
R_0=\frac{1}{h\cdot 4\pi r_1^2} =\frac{1}{50\cdot 4\pi (0,05)^2}.
Vamos calcular passo a passo:
r_1^2=(0,05)^2=0,0025\\ \mathrm{m}^2,
4\pi r_1^2=4\pi\cdot 0,0025=0,01\pi\approx 0,0314159\\ \mathrm{m}^2,
h\cdot 4\pi r_1^2=50\cdot 0,0314159\approx 1,5707963\\ \mathrm{W}/\mathrm{^\circ C},
R_0=\frac{1}{1,5707963}\approx 0,63662\\ \mathrm{^\circ C/W}.
  • Resistência total necessária:
R_{\text{tot}}=\frac{R_0}{0,17}\approx \frac{0,63662}{0,17}\approx 3,7454\\ \mathrm{^\circ C/W}.

Passo 4

Montar a equação em função de r_2 e manipular algebricamente.
  • Escrevendo R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv,2}} e substituindo as fórmulas:
\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)+\frac{1}{h\cdot 4\pi r_2^2}=R_{\text{tot}}.
Multiplicando ambos os lados por 4\pi para simplificar:
\frac{1}{k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)+\frac{1}{h r_2^2}=4\pi R_{\text{tot}}.
Mas observe que 4\pi R_0=\dfrac{1}{h r_1^2}. Usando R_{\text{tot}}=R_0/0{,}17 temos
4\pi R_{\text{tot}}=\frac{1}{0{,}17}\cdot 4\pi R_0=\frac{1}{0{,}17}\cdot\frac{1}{h r_1^2}.
Portanto a equação fica
\frac{1}{k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)+\frac{1}{h r_2^2}=\frac{1}{0{,}17\,h r_1^2}.
  • Substituindo os números k=0{,}08, h=50, r_1=0{,}05\\ \mathrm{m}:
\frac{1}{0{,}08}\left(\frac{1}{0{,}05}-\frac{1}{r_2}\right)+\frac{1}{50\,r_2^2}=\frac{1}{0{,}17\cdot 50\cdot (0{,}05)^2}.
  • Calcule termos numéricos conhecidos:
\frac{1}{0{,}08}=12{,}5,\qquad \frac{1}{0{,}05}=20,\qquad \frac{1}{0{,}17\cdot 50\cdot 0{,}0025}=\frac{1}{0{,}02125}\approx 47{,}0588235.
Logo a equação numérica é
12{,}5\left(20-\frac{1}{r_2}\right)+\frac{1}{50\,r_2^2}=47{,}0588235.
  • Simplificando essa expressão obtemos uma equação quadrática em r_2. Desenvolvendo os termos:
250-\frac{12{,}5}{r_2}+\frac{1}{50\,r_2^2}=47{,}0588235.
Passando todos para um lado e multiplicando por r_2^2 para eliminar denominadores, chega-se a
10147{,}0588235\,r_2^2-625\,r_2+1=0.
Esta é uma quadrática do tipo a r_2^2+b r_2+c=0 com
a=10147{,}0588235,\quad b=-625,\quad c=1.

Passo 5

Resolver a equação quadrática e obter a espessura.
  • Discriminante:
\Delta=b^2-4ac=625^2-4\cdot 10147{,}0588235\cdot 1\approx 350036{,}7647059.
\sqrt{\Delta}\approx 591{,}645058.
  • Raízes:
r_2=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{625\pm 591{,}645058}{2\cdot 10147{,}0588235}.
As duas soluções numéricas são
r_{2,1}\approx \frac{1216{,}645058}{20294{,}117647}\approx 0{,}05995\\ \mathrm{m},
r_{2,2}\approx \frac{33{,}354942}{20294{,}117647}\approx 0{,}00164\\ \mathrm{m}\quad(\text{não física, menor que }r_1).ãí
Escolhe-se a raiz física r_2\approx 0{,}05995\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do isolamento:
s=r_2-r_1=0{,}05995-0{,}05\approx 0{,}00995\\ \mathrm{m}.
Convertendo:
s\approx 0{,}00995\\ \mathrm{m}=9{,}95\\ \mathrm{mm}\approx 0{,}995\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check).
  • Resistência convectiva externa com r_2:
R_{\text{conv,2}}=\frac{1}{50\cdot 4\pi (0{,}05995)^2}\approx 0{,}443\\ \mathrm{^\circ C/W}.
  • Como R_{\text{tot}}=R_0/0{,}17\approx 3{,}7454\\ \mathrm{^\circ C/W}, a resistência de condução necessária é
R_{\text{cond}}=R_{\text{tot}}-R_{\text{conv,2}}\approx 3{,}7454-0{,}443\approx 3{,}302\\ \mathrm{^\circ C/W},
que é compatível com o valor calculado pela fórmula de condução esférica com o r_2 obtido. A relação \dot{Q}_{\text{novo}}/\dot{Q}_0=R_0/R_{\text{tot}} dá aproximadamente 0{,}17, conforme exigido.

Resposta

s\approx 0{,}00995\\ \mathrm{m}\approx 9{,}95\\ \mathrm{mm}

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