3.45 Uma esfera de diâmetro externo
, mantida a uma temperatura uniforme
, está exposta a um ambiente a
, com um coeficiente de ransferência convectiva de calor
. Calcule a espessura do isolamento
necessário para reduzir de
a taxa de perda de calor enquanto a esfera é mantida a
).
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a espessura do isolamento necessário para reduzir em
a taxa de perda de calor de uma esfera quente mantida a
, exposta a um ambiente a
. Dados fornecidos:
- Diâmetro externo da esfera (sem isolamento):
. - Temperatura da esfera:
. - Temperatura do ambiente:
. - Coeficiente de convecção:
. - Condutividade térmica do isolamento:
.
O que se pede: achar a espessura do isolamento (ou seja, a diferença entre o raio externo com isolamento e o raio original da esfera) que reduz ema taxa de perda de calor.
Passo 2
Modelo físico e fórmulas importantes (explicação didática).
- Sem isolamento, a esfera perde calor por convecção na sua superfície externa de raio
. A resistência térmica por convecção é
onde
é o raio externo da esfera sem isolamento,
é o coeficiente de convecção e
é a área da esfera.
- Com isolamento (camada esférica, de raio externo
), o calor sai por condução através do isolamento e depois por convecção da superfície externa do isolamento. As resistências são em série: - Resistência à condução através de uma casca esférica (entre raios
e ):
onde é a condutividade térmica do isolamento. - Resistência convectiva na superfície externa de raio
:
- Resistência à condução através de uma casca esférica (entre raios
- A resistência total com isolamento é
- A taxa de calor é dada por (diferença de temperatura dividida pela resistência):
Assim, reduzir a taxa de perda de calor em
significa que a nova taxa é
da original:
Como
, tem-se
Passo 3
Calcular os valores numéricos iniciais e escrever a equação para
.
- Raio inicial da esfera (metade do diâmetro):
- Resistência convectiva sem isolamento:
Vamos calcular passo a passo:
- Resistência total necessária:
Passo 4
Montar a equação em função de
e manipular algebricamente.
- Escrevendo
e substituindo as fórmulas:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Mas observe que
. Usando
temos
Portanto a equação fica
- Substituindo os números
, , :
- Calcule termos numéricos conhecidos:
Logo a equação numérica é
- Simplificando essa expressão obtemos uma equação quadrática em
. Desenvolvendo os termos:
Passando todos para um lado e multiplicando por
para eliminar denominadores, chega-se a
Esta é uma quadrática do tipo
com
Passo 5
Resolver a equação quadrática e obter a espessura.
- Discriminante:
- Raízes:
As duas soluções numéricas são
Escolhe-se a raiz física
.
- Espessura do isolamento:
Convertendo:
Passo 6
Verificação rápida (sanity check).
- Resistência convectiva externa com
:
- Como
, a resistência de condução necessária é
que é compatível com o valor calculado pela fórmula de condução esférica com o
obtido. A relação
dá aproximadamente
, conforme exigido.