43 Duas esferas metálicas, A e B, de massas iguais e confeccionadas com materiais diferentes são colocadas perto de fontes idênticas de calor. As duas esferas recebem a mesma quantidade de calor e, após isso, são isoladas até atingirem o equilíbrio termodinâmico. Verifica-se que a variação da temperatura de A é duas vezes maior do que a de B.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei tudo do texto do enunciado):
  • Duas esferas metálicas A e B têm massas iguais: m_A=m_B.
  • As duas esferas recebem a mesma quantidade de calor: Q_A=Q_B (vou chamar esse valor comum de Q).
  • Após o aquecimento e isolamento, as variações de temperatura verificadas satisfazem \Delta T_A = 2\Delta T_B.
    O que o enunciado pede (implícito): determinar a relação entre os calores específicos (ou capacidades térmicas) das esferas e dizer qual material tem maior calor específico.

Passo 2

Vamos lembrar a relação física que liga calor trocado, massa, calor específico e variação de temperatura. A fórmula é
Q = m\,c\,\Delta T.
Expliquei cada símbolo:
  • Q é a quantidade de calor recebida (unidade no SI: joule, \text{J}).
  • m é a massa do corpo (unidade: quilograma, \text{kg}).
  • c é o calor específico do material (unidade: \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}).
  • \Delta T é a variação de temperatura (unidade: kelvin, \text{K}, ou grau Celsius, já que variação em ambas unidades é equivalente).
Essa fórmula diz, na linguagem simples: para uma massa fixa, quanto maior o calor específico c, menor será a variação de temperatura \Delta T ao receber a mesma quantidade de calor Q.

Passo 3

Agora aplico a fórmula separadamente para cada esfera, lembrando que ambas receberam o mesmo Q e têm a mesma massa m.
Para a esfera A:
Q = m\,c_A\,\Delta T_A.
Para a esfera B:
Q = m\,c_B\,\Delta T_B.
Aqui c_A e c_B são os calores específicos de A e B, respectivamente.

Passo 4

Como Q e m são iguais para as duas esferas, igualamos as duas expressões:
m\,c_A\,\Delta T_A = m\,c_B\,\Delta T_B.
Cancelando m (não é zero) obtemos
c_A\,\Delta T_A = c_B\,\Delta T_B.

Passo 5

Substituímos a relação dada \Delta T_A = 2\Delta T_B na equação anterior:
c_A\,(2\Delta T_B)=c_B\,\Delta T_B.
Cancelando \Delta T_B (também não é zero, pois houve variação de temperatura) resulta
2c_A = c_B.
Ou escrevendo como razão,
\frac{c_A}{c_B}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação física e conclusão clara:
  • A relação c_B=2c_A significa que o calor específico do material da esfera B é o dobro do calor específico do material da esfera A.
  • Em palavras: como ambas receberam a mesma energia e A aqueceu mais ( \Delta T_A foi o dobro), o material de A tem menor capacidade de armazenar energia por unidade de massa por grau — isto é, A tem calor específico menor. Já B precisa de mais energia para aumentar a mesma quantidade de temperatura, logo tem calor específico maior.
Um jeito prático de lembrar: para mesma massa e mesmo Q, \Delta T é inversamente proporcional a c. Quando \Delta T é maior, c é menor.

Resposta

\displaystyle c_A=\tfrac{1}{2}\,c_B
\displaystyle c_B=2\,c_A

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