33 Em um recipiente de ferro de 40 g de massa há 50 g de gelo à temperatura de -30^{\circ} \mathrm{C}. Calcular a quantidade de vapor de água a 150^{\circ} \mathrm{C} que tem de ser injetado no recipiente para levar o conjunto a 20^{\circ} \mathrm{C}.
\mathrm{C}_{\text {Gelo }}=0,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}
\mathrm{L}_{\mathrm{F}}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}
\mathrm{L}_{\mathrm{v}}=540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}
\mathrm{C}_{\text {Ferro }}=0,12 / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede.
  • Massa do gelo: m_{\text{gelo}}=50\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do gelo: T_{\text{gelo,i}}=-30^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do gelo: c_{\text{gelo}}=0,5\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_{\mathrm{F}}=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
  • Massa do recipiente (ferro): m_{\text{ferro}}=40\\ \mathrm{g}.
  • Calor específico do ferro: c_{\text{ferro}}=0,12\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
  • Vapor injetado (procura-se a massa): vapor a 150^\circ\mathrm{C}.
  • Calor latente de vaporização da água (a 100^\circ\mathrm{C}): L_{\mathrm{v}}=540\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
  • Temperatura final desejada do conjunto: T_f=20^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede: calcular a massa de vapor de água (em gramas) a 150^\circ\mathrm{C} que deve ser injetada para que, após equilíbrio, o gelo + ferro atinjam 20^\circ\mathrm{C}.
Observação que vou usar: o calor específico da água líquida é c_{\text{água}}=1{,}0\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}á (valor padrão). Além disso, como o vapor está a 150^\circ\mathrm{C} (superaquecido), ao ser injetado ele primeiro perde calor ao resfriar de 150^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C} como vapor, depois condensa (libera L_{\mathrm{v}}) e depois o líquido resultante resfria de 100^\circ\mathrm{C} até 20^\circ\mathrm{C}. Para o resfriamento do vapor usei o calor específico do vapor \,c_{\text{vapor}}\approx0{,}48\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}\, (valor típico); mais adiante justifico brevemente essa escolha e mostro o efeito de desconsiderá-lo.

Passo 2

Princípio de conservação de energia (sem perdas para o ambiente): o calor cedido pelo vapor = calor absorvido pelo gelo (para aquecer, fundir e aquecer água) + calor absorvido pelo recipiente de ferro.
Escrevemos a igualdade geral:
Q_{\text{cedido pelo vapor}}=Q_{\text{gelo}}+Q_{\text{ferro}}.
Agora vou escrever e calcular cada termo detalhadamente.

Passo 3

Calor necessário para o gelo ir de -30^\circ\mathrm{C} até 20^\circ\mathrm{C}:
  1. Aquecer o gelo de -30^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\,(0-(-30))=50\cdot0{,}5\cdot30.
Calculemos:
Q_1 = 50\cdot0{,}5\cdot30 = 25\cdot30 = 750\\ \mathrm{cal}.
  1. Fundir todo o gelo a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_2 = m_{\text{gelo}}\,L_{\mathrm{F}} = 50\cdot80 = 4000\\ \mathrm{cal}.
  1. Aquecer a água resultante de 0^\circ\mathrm{C} até 20^\circ\mathrm{C}:
Q_3 = m_{\text{gelo}}\,c_{\text{água}}\,(20-0)=50\cdot1{,}0\cdot20.á
Calculemos:
Q_3 = 50\cdot20 = 1000\\ \mathrm{cal}.
Somando os três estágios para o gelo:
Q_{\text{gelo}} = Q_1+Q_2+Q_3 = 750+4000+1000 = 5750\\ \mathrm{cal}.

Passo 4

Calor necessário para aquecer o recipiente de ferro de -30^\circ\mathrm{C} até 20^\circ\mathrm{C}:
\Delta T_{\text{ferro}} = 20-(-30)=50^\circ\mathrm{C},
Q_{\text{ferro}} = m_{\text{ferro}}\,c_{\text{ferro}}\,\Delta T_{\text{ferro}} = 40\cdot0{,}12\cdot50.
Calculemos:
0{,}12\cdot50 = 6,\qquad 40\cdot6 = 240\\ \mathrm{cal}.

Passo 5

Energia total que precisa ser fornecida pelo vapor:
Q_{\text{necessário}} = Q_{\text{gelo}}+Q_{\text{ferro}} = 5750 + 240 = 5990\\ \mathrm{cal}.á

Passo 6

Agora calculamos quanto calor libera cada grama de vapor que entra a 150^\circ\mathrm{C} até ficar a 20^\circ\mathrm{C} líquido. Há três contribuições por grama de vapor (massa 1\\ \mathrm{g}):
A) Resfriamento do vapor de 150^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C} (sensible heat do vapor):
q_A = c_{\text{vapor}}\,(150-100) = c_{\text{vapor}}\cdot50.
Adotei c_{\text{vapor}}=0{,}48\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C} (valor usual para vapor de água em problemas escolares). Assim
q_A = 0{,}48\cdot50 = 24\\ \mathrm{cal/g}.
B) Condensação do vapor a 100^\circ\mathrm{C}:
q_B = L_{\mathrm{v}} = 540\\ \mathrm{cal/g}.
C) Resfriamento da água líquida formada de 100^\circ\mathrm{C} até 20^\circ\mathrm{C}:
q_C = c_{\text{água}}\,(100-20) = 1{,}0\cdot80 = 80\\ \mathrm{cal/g}.á
Somando por grama:
q_{\text{fornecido por 1 g vapor}} = q_A+q_B+q_C = 24 + 540 + 80 = 644\\ \mathrm{cal/g}.
Observação sobre a escolha de c_{\text{vapor}}: se alguém negligenciassse o resfriamento do vapor superaque-cido (isto é, assumisse que o vapor condensa diretamente e que não há calor liberado ao desaquecer de 150^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}), o termo q_A seria zero e o calor por grama seria 620\\ \mathrm{cal/g}. Essa diferença muda a massa calculada, mas não drasticamente — mostro o valor final com a escolha usual de c_{\text{vapor}}=0{,}48.

Passo 7

Equilibrando energia: se m é a massa de vapor (em gramas) injetada,
m\cdot644 = 5990.
Logo
m = \frac{5990}{644}.
Calculemos:
m \approx 9{,}30528\\ \mathrm{g}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
m \approx 9{,}31\\ \mathrm{g}.

Passo 8

Breve comentário final e incentivo: a massa necessária é pequena porque a condensação libera muito calor ( L_{\mathrm{v}}=540\\ \mathrm{cal/g} ). Se, por hipótese, alguém ignorasse o resfriamento do vapor superaque-cido e usasse 620\\ \mathrm{cal/g} por grama, obteria m=5990/620\approx9{,}66\\ \mathrm{g} — valor próximo ao que encontramos. Portanto a resposta é robusta em relação a essa pequena modelagem.

Resposta

9{,}31\\ \mathrm{g}

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