56 A mesma quantidade de água na mesma temperatura, foi despejada em duas chaleiras elétricas idênticas. Apenas a potência nominal das chaleiras difere: a primeira tem 1 kW e a segunda, 2 kW . Compare o consumo de energia gasto para aquecer a água nessas chaleiras até a fervura.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá:
    • Mesma quantidade de água, mesma temperatura inicial e mesmo aquecimento até a fervura (mesma temperatura final).
    • Duas chaleiras idênticas exceto pela potência nominal:
      • Potência da primeira: P_1 = 1\\ \mathrm{kW} = 1000\\ \mathrm{W}.
      • Potência da segunda: P_2 = 2\\ \mathrm{kW} = 2000\\ \mathrm{W}.
    • As chaleiras são idênticas (mesma massa de água, mesma construção), então podemos assumir que têm a mesma eficiência térmica idealizada para efeitos do enunciado.
  • O enunciado pede:
    • Comparar o consumo de energia gasto para aquecer a água até a fervura nas duas chaleiras (ou seja, comparar a energia elétrica consumida por cada uma no processo).

Passo 2

Conceito essencial: energia necessária para aquecer a água.
  • A quantidade de calor (energia térmica) necessária para elevar a temperatura de uma massa de água é dada pela fórmula
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é a energia térmica necessária (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa da água (em quilogramas, \mathrm{kg});
  • c é o calor específico da água (aproximadamente c = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin ou graus Celsius, pois a variação é a mesma em ambas unidades).
Explicando em palavras: para aquecer uma determinada massa de água de uma temperatura inicial até a fervura, a energia necessária depende só de quanto temos de água ( m), do quanto temos que elevar a temperatura ( \Delta T) e do calor específico ( c). Não aparece a potência aí — a potência determina só quão rápido essa energia é fornecida, não a quantidade total necessária (no modelo sem perdas).

Passo 3

Relação potência-tempo.
  • Definição de potência elétrica: a potência média P é a taxa de energia fornecida por unidade de tempo:
P=\frac{E}{t},
onde:
  • E é a energia elétrica fornecida (em \mathrm{J});
  • t é o tempo gasto (em \mathrm{s}).
  • Rearranjando:
E = P\,t.
Aqui E é a energia elétrica consumida pela chaleira. Se todo o trabalho elétrico vai para aquecer a água (modelo ideal), então E deve igualar Q.

Passo 4

Tempo necessário em cada chaleira (mostrando que potências diferentes dão tempos diferentes).
  • Supondo que a energia necessária para aquecer a água é Q, o tempo que cada chaleira leva é
t_1=\frac{Q}{P_1},\qquad t_2=\frac{Q}{P_2}.
  • Como P_2 = 2P_1, obtemos
t_2=\frac{Q}{2P_1}=\frac{1}{2}\,\frac{Q}{P_1}=\frac{t_1}{2}.
Ou seja: a chaleira de 2\\ \mathrm{kW} aquece a água em metade do tempo que a de 1\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Energia consumida por cada chaleira no modelo ideal (sem perdas).
  • Energia consumida pela primeira:
E_1 = P_1\,t_1 = P_1\cdot\frac{Q}{P_1} = Q.
  • Energia consumida pela segunda:
E_2 = P_2\,t_2 = P_2\cdot\frac{Q}{P_2} = Q.
Portanto, no modelo ideal (toda a energia elétrica vai para aquecer a água), ambas consomem a mesma energia Q para levar a mesma massa de água da mesma temperatura inicial até a fervura.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para reforçar a intuição (opcional mas útil).
  • Suponha m=1\\ \mathrm{kg} de água, \Delta T=80\\ \mathrm{K} (por exemplo de 20^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}).
Q = m c \Delta T = 1\cdot 4186\cdot 80 = 334880\\ \mathrm{J}\approx 3{,}35\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
  • Tempos:
t_1=\frac{Q}{1000}\approx 334{,}88\\ \mathrm{s}\\ (\approx 5{,}58\\ \mathrm{min}), \qquad t_2=\frac{Q}{2000}\approx 167{,}44\\ \mathrm{s}\\ (\approx 2{,}79\\ \mathrm{min}).
  • Energias:
E_1=P_1 t_1=334880\\ \mathrm{J},\qquad E_2=P_2 t_2=334880\\ \mathrm{J}.
Confere que são iguais.

Passo 7

Observações práticas (o que muda na vida real)
  • No mundo real existem perdas de calor para o ambiente durante o aquecimento. Essas perdas ocorrem enquanto o aquecimento acontece e, em geral, aumentam com o tempo de aquecimento. Como a chaleira de 1\\ \mathrm{kW} leva mais tempo, ela tende a perder mais calor ao ambiente e por isso pode consumir um pouco mais de energia elétrica na prática para alcançar a fervura.
  • No entanto, o enunciado disse que as chaleiras são idênticas exceto pela potência, então o raciocínio idealizado (energia igual) é o que normalmente se pede numa prova. Se fosse preciso discutir eficiência real, diríamos que a de maior potência normalmente é ligeiramente mais eficiente para esse objetivo justamente por ser mais rápida e assim sofrer menos perdas.

Resposta

As duas chaleiras consomem a mesma energia para aquecer a mesma quantidade de água da mesma temperatura até a fervura (no modelo ideal): E_1=E_2=Q=m\,c\,\Delta T.\nA chaleira de 2\\ \mathrm{kW} leva metade do tempo da de 1\\ \mathrm{kW} ( t_2=t_1/2).

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