41- Notem que a probabilidade do estado microscópico pode ser fatorizada, isto é, que \mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{vx}, \mathrm{vy}, \mathrm{vz})=\mathrm{Py}(\mathrm{y}) \mathrm{Pv}(\mathrm{vx}, \mathrm{vy}, \mathrm{vz}). Sobre a probabilidade produto, é correto afirmar que
a) A probabilidade de encontrar uma molécula a uma altura de 2 metros é maior do que a probabilidade de encontrá-la a uma altura de 5 metros.
b) A probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade \langle\mathrm{Vx} ; \mathrm{Vy} ; \mathrm{Vz}\rangle depende apenas da magnitude dessa velocidade.
c) A probabilidade de encontrar uma molécula a uma altura y decresce exponencialmente com a altura.
d) A probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade \langle 2 ; 3 ; 4\rangle é igual à probabilidade de encontrá-la com velocidade \langle-2 ; 4 ; 3\rangle

Passo 1

O enunciado afirma que a probabilidade do estado microscópico pode ser fatorizada:
\mathrm{P}(x,y,z,v_x,v_y,v_z)=P_y(y)\;P_v(v_x,v_y,v_z).
Ele pede para avaliar quais afirmações entre (a), (b), (c) e (d) são corretas. As opções são:
a) A probabilidade de encontrar uma molécula a uma altura de 2 metros é maior do que a probabilidade de encontrá-la a uma altura de 5 metros.
b) A probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade \langle v_x; v_y; v_z\rangle depende apenas da magnitude dessa velocidade.
c) A probabilidade de encontrar uma molécula a uma altura y decresce exponencialmente com a altura.
d) A probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade \langle 2;3;4\rangle é igual à probabilidade de encontrá-la com velocidade \langle -2;4;3\rangle.
Informações relevantes dadas ou implicitamente assumidas (enunciado adequado):
  • Há fatorização entre coordenada espacial y e as velocidades: a distribuição espacial P_y(y) é independente da distribuição de velocidades P_v.
  • Estamos no contexto físico usual de um gás em equilíbrio térmico num campo gravitacional (é essa a hipótese típica necessária para relacionar P_y(y) e P_v às formas conhecidas).

Passo 2

O que significa a fatorização \mathrm{P}=P_y(y)\,P_v(v_x,v_y,v_z)?
Explicação didática:
  • Significa que a probabilidade conjunta separa-se em um fator que depende só da posição vertical y e outro que depende só das componentes de velocidade (v_x,v_y,v_z).
  • Matematicamente, a independência entre y e (v_x,v_y,v_z) permite tratar P_y e P_v separadamente: mudanças em y não alteram P_v e vice‑versa.
  • Isso não entrega ainda a forma explícita de P_y ou P_v; para isso precisamos usar a hipótese de equilíbrio térmico (energia potencial gravitacional, energia cinética térmica, etc.).

Passo 3

Derivando a forma de P_y(y) (fórmula barométrica) — passo a passo e explicando cada termo.
Teoria necessária (aula curta):
  • Em equilíbrio térmico à temperatura T, a probabilidade de um microestado com energia total E é proporcional ao fator de Boltzmann \exp(-E/(k_B T)), onde k_B é a constante de Boltzmann.
  • Para uma molécula de massa m em um campo gravitacional uniforme, a energia potencial é U(y)=m g y, com g aceleração da gravidade.
  • A energia cinética não depende de y, então, integrando sobre velocidades, o fator dependente de y fica proporcional a \exp(-U(y)/(k_B T)).
Aplicando isso:
P_y(y)\propto \exp\!\bigg(-\frac{U(y)}{k_B T}\bigg)=\exp\!\bigg(-\frac{m g y}{k_B T}\bigg).
Explicação das variáveis: m = massa da molécula, g = aceleração da gravidade, k_B = constante de Boltzmann, T = temperatura absoluta.
Conclusão imediata: P_y(y) tem dependência exponencial decrescente em y.

Passo 4

Usando a forma de P_y(y) para comparar alturas 2 m e 5 m (resolvendo a opção (a)).
Cálculo (passo a passo):
  • A razão entre as probabilidades em y=2 e y=5 é
\frac{P_y(2)}{P_y(5)}=\frac{\exp\!\big(-\dfrac{m g\cdot 2}{k_B T}\big)}{\exp\!\big(-\dfrac{m g\cdot 5}{k_B T}\big)} =\exp\!\bigg(\frac{m g(5-2)}{k_B T}\bigg).
  • O expoente \dfrac{m g(5-2)}{k_B T}=\dfrac{3 m g}{k_B T} é positivo, logo a razão é maior que 1.
Interpretação:
  • Isso mostra que P_y(2)>P_y(5): a probabilidade de encontrar a molécula a 2 m é maior do que a de encontrá‑la a 5 m.
Portanto a afirmação (a) é verdadeira (desde que estejamos no regime de equilíbrio térmico e gravidade uniforme, hipótese padrão).

Passo 5

Mostrando explicitamente que P_y(y) decresce exponencialmente (resolvendo a opção (c)).
Relembrando a expressão:
P_y(y)\propto \exp\!\bigg(-\frac{m g y}{k_B T}\bigg).
  • A função exponencial \exp(-\text{const}\cdot y) com \text{const}>0 é uma função que decresce exponencialmente quando y aumenta.
  • Aqui \text{const}=\dfrac{m g}{k_B T}>0 para m>0, g>0, T>0.
Conclusão:
  • A afirmação (c) é verdadeira: a probabilidade de encontrar a molécula a uma altura y decresce exponencialmente com y.

Passo 6

Forma da distribuição de velocidades P_v(v_x,v_y,v_z) (explicando a opção (b)).
Teoria necessária (aula curta):
  • Em um gás ideal em equilíbrio térmico isotrópico, a distribuição de velocidades é a distribuição de Maxwell–Boltzmann.
  • A densidade de probabilidade para a tripla (v_x,v_y,v_z) é
P_v(v_x,v_y,v_z)=C\exp\!\bigg(-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2k_B T}\bigg),
onde C é constante de normalização.
  • Note que v_x^2+v_y^2+v_z^2 = v^2, onde v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} é a magnitude da velocidade.
Consequência direta:
  • P_v depende de v_x,v_y,v_z apenas através de v^2, isto é, depende apenas da magnitude v.
  • Assim a probabilidade de um vetor velocidade particular depende somente de quão grande é esse vetor (não da sua direção), desde que o gás seja isotrópico e em equilíbrio.
Portanto a afirmação (b) é verdadeira no contexto padrão (gás ideal em equilíbrio térmico isotrópico).

Passo 7

Comparando as probabilidades para os vetores de velocidade dados (resolvendo a opção (d)).
Cálculo explícito:
  • Calcule a magnitude de \langle 2,3,4\rangle:
v_1^2=2^2+3^2+4^2=4+9+16=29.
  • Calcule a magnitude de \langle -2,4,3\rangle:
v_2^2=(-2)^2+4^2+3^2=4+16+9=29.
  • Como v_1^2=v_2^2, e P_v depende apenas de v^2 (veja Passo 6), temos
P_v(2,3,4)=P_v(-2,4,3).
Interpretação:
  • A permutação das componentes e a troca de sinal de uma componente não altera v^2, e portanto não altera a probabilidade.
Conclusão:
  • A afirmação (d) é verdadeira.

Passo 8

Resumo das conclusões (cada opção avaliada):
  • (a) Verdadeira — porque P_y(y) decresce com y (Passos 3–4).
  • (b) Verdadeira — em equilíbrio isotrópico P_v depende apenas de v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} (Passo 6).
  • (c) Verdadeira — P_y(y)\propto\exp\!\big(-\dfrac{m g y}{k_B T}\big) (Passo 3).
  • (d) Verdadeira — os dois vetores têm mesma magnitude, logo mesma probabilidade (Passo 7).

Resposta

a), b), c) e d)

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