41- Notem que a probabilidade do estado microscópico pode ser fatorizada, isto é, que
. Sobre a probabilidade produto, é correto afirmar que
a) A probabilidade de encontrar uma molécula a uma altura de 2 metros é maior do que a probabilidade de encontrá-la a uma altura de 5 metros.
b) A probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade
depende apenas da magnitude dessa velocidade.
c) A probabilidade de encontrar uma molécula a uma altura y decresce exponencialmente com a altura.
d) A probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade
é igual à probabilidade de encontrá-la com velocidade
a) A probabilidade de encontrar uma molécula a uma altura de 2 metros é maior do que a probabilidade de encontrá-la a uma altura de 5 metros.
b) A probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade
c) A probabilidade de encontrar uma molécula a uma altura y decresce exponencialmente com a altura.
d) A probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade
Passo 1
O enunciado afirma que a probabilidade do estado microscópico pode ser fatorizada:
Ele pede para avaliar quais afirmações entre (a), (b), (c) e (d) são corretas. As opções são:
a) A probabilidade de encontrar uma molécula a uma altura de
metros é maior do que a probabilidade de encontrá-la a uma altura de
metros.
b) A probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade
depende apenas da magnitude dessa velocidade.
c) A probabilidade de encontrar uma molécula a uma altura
decresce exponencialmente com a altura.
d) A probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade
é igual à probabilidade de encontrá-la com velocidade
.
Informações relevantes dadas ou implicitamente assumidas (enunciado adequado):
- Há fatorização entre coordenada espacial
e as velocidades: a distribuição espacial é independente da distribuição de velocidades . - Estamos no contexto físico usual de um gás em equilíbrio térmico num campo gravitacional (é essa a hipótese típica necessária para relacionar
e às formas conhecidas).
Passo 2
O que significa a fatorização
?
Explicação didática:
- Significa que a probabilidade conjunta separa-se em um fator que depende só da posição vertical
e outro que depende só das componentes de velocidade . - Matematicamente, a independência entre
e permite tratar e separadamente: mudanças em não alteram e vice‑versa. - Isso não entrega ainda a forma explícita de
ou ; para isso precisamos usar a hipótese de equilíbrio térmico (energia potencial gravitacional, energia cinética térmica, etc.).
Passo 3
Derivando a forma de
(fórmula barométrica) — passo a passo e explicando cada termo.
Teoria necessária (aula curta):
- Em equilíbrio térmico à temperatura
, a probabilidade de um microestado com energia total é proporcional ao fator de Boltzmann , onde é a constante de Boltzmann. - Para uma molécula de massa
em um campo gravitacional uniforme, a energia potencial é , com aceleração da gravidade. - A energia cinética não depende de
, então, integrando sobre velocidades, o fator dependente de fica proporcional a .
Aplicando isso:
Explicação das variáveis:
= massa da molécula,
= aceleração da gravidade,
= constante de Boltzmann,
= temperatura absoluta.
Conclusão imediata:
tem dependência exponencial decrescente em
.
Passo 4
Usando a forma de
para comparar alturas
m e
m (resolvendo a opção (a)).
Cálculo (passo a passo):
- A razão entre as probabilidades em
e é
- O expoente
é positivo, logo a razão é maior que .
Interpretação:
- Isso mostra que
: a probabilidade de encontrar a molécula a m é maior do que a de encontrá‑la a m.
Portanto a afirmação (a) é verdadeira (desde que estejamos no regime de equilíbrio térmico e gravidade uniforme, hipótese padrão).
Passo 5
Mostrando explicitamente que
decresce exponencialmente (resolvendo a opção (c)).
Relembrando a expressão:
- A função exponencial
com é uma função que decresce exponencialmente quando aumenta. - Aqui
para , , .
Conclusão:
- A afirmação (c) é verdadeira: a probabilidade de encontrar a molécula a uma altura
decresce exponencialmente com .
Passo 6
Forma da distribuição de velocidades
(explicando a opção (b)).
Teoria necessária (aula curta):
- Em um gás ideal em equilíbrio térmico isotrópico, a distribuição de velocidades é a distribuição de Maxwell–Boltzmann.
- A densidade de probabilidade para a tripla
é
onde
é constante de normalização.
- Note que
, onde é a magnitude da velocidade.
Consequência direta:
-
depende de apenas através de , isto é, depende apenas da magnitude . - Assim a probabilidade de um vetor velocidade particular depende somente de quão grande é esse vetor (não da sua direção), desde que o gás seja isotrópico e em equilíbrio.
Portanto a afirmação (b) é verdadeira no contexto padrão (gás ideal em equilíbrio térmico isotrópico).
Passo 7
Comparando as probabilidades para os vetores de velocidade dados (resolvendo a opção (d)).
Cálculo explícito:
- Calcule a magnitude de
:
- Calcule a magnitude de
:
- Como
, e depende apenas de (veja Passo 6), temos
Interpretação:
- A permutação das componentes e a troca de sinal de uma componente não altera
, e portanto não altera a probabilidade.
Conclusão:
- A afirmação (d) é verdadeira.
Passo 8
Resumo das conclusões (cada opção avaliada):
- (a) Verdadeira — porque
decresce com (Passos 3–4). - (b) Verdadeira — em equilíbrio isotrópico
depende apenas de (Passo 6). - (c) Verdadeira —
(Passo 3). - (d) Verdadeira — os dois vetores têm mesma magnitude, logo mesma probabilidade (Passo 7).
Resposta
a), b), c) e d)