43-\int \frac{2 x+3}{x^{2}+x} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a função
43 \;-\;\int \frac{2x+3}{x^{2}+x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de uma razão racional, e vamos usar decomposição em frações parciais seguida da regra
\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^{2}+x = x(x+1).
Suponha
\frac{2x+3}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}.
Nosso objetivo é achar A e B.

Passo 3

Multiplicando por x(x+1)\), obtemos \[2x+3 = A(x+1) + Bx = (A+B)\,x + A.
Comparando coeficientes em x e termo independente:
\begin{cases} A + B = 2,\\\ A = 3, \end{cases}
logo A=3\] e \(B=2-3=-1. Assim
\frac{2x+3}{x(x+1)} = \frac{3}{x} - \frac{1}{x+1}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \frac{2x+3}{x^{2}+x}\,dx = \int\!\Bigl(\frac{3}{x} - \frac{1}{x+1}\Bigr)\,dx = 3\int \frac{1}{x}\,dx \;-\;\int \frac{1}{x+1}\,dx = 3\ln\lvert x\rvert \;-\;\ln\lvert x+1\rvert + C.

Passo 5

Voltando à expressão original:
43 - \int \frac{2x+3}{x^{2}+x}\,dx = 43 - \bigl(3\ln\lvert x\rvert - \ln\lvert x+1\rvert + C\bigr) = 43 -3\ln\lvert x\rvert + \ln\lvert x+1\rvert + C',
onde C' = -C é uma constante arbitrária.

Resposta

43 + \ln\lvert x+1\rvert \;-\; 3\ln\lvert x\rvert + C.

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