47-\int \frac{3 x+4}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
47 \;-\;\int \frac{3 x+4}{(x+1)^{2}}\,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Vamos usar decomposição do numerador sobre potências de (x+1).

Passo 2

Escrevemos o numerador 3x+4 como combinação de (x+1) mais constante:
3x+4 = 3(x+1) + 1.
Logo
\frac{3x+4}{(x+1)^{2}} =\frac{3(x+1)+1}{(x+1)^{2}} =3\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 3

Assim, o integral fica
\int \frac{3x+4}{(x+1)^{2}}\,dx =3\int \frac{1}{x+1}\,dx +\int (x+1)^{-2}\,dx.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\lvert x+1\rvert,
\int (x+1)^{-2}\,dx = \int (x+1)^{-2}\,dx = -\,(x+1)^{-1}.
Portanto
\int \frac{3x+4}{(x+1)^{2}}\,dx =3\,\ln\lvert x+1\rvert -\frac{1}{x+1} + C.

Passo 5

Voltando à expressão original, temos
47 \;-\;\int \frac{3x+4}{(x+1)^{2}}\,dx =47 -\Bigl(3\,\ln\lvert x+1\rvert-\frac{1}{x+1}\Bigr) + C =47 -3\,\ln\lvert x+1\rvert+\frac{1}{x+1}+C.

Resposta

47 \;-\;\int \frac{3x+4}{(x+1)^{2}}\,dx =47 \;-\;3\,\ln\lvert x+1\rvert \;+\;\frac{1}{x+1}\;+\;C.

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