Calcule a integral do campo vetorial
ao longo da curva
obtida como interseção da superfície
, com o plano
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
onde
e
é a curva dada pela interseção da semi-elipsoide
com o plano
.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e o que vamos precisar é:
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e o que vamos precisar é:
- Verificar se
é conservativo (curl zero). - Encontrar uma função potencial
tal que . - Determinar os pontos inicial e final de
. - Usar o Teorema Fundamental das integrais de linha:
.
Passo 2
Vamos checar se
.
Aqui
,
,
,
,
,
.
Logo cada componente dá zero, isto é
.
Portanto é conservativo num domínio simples como
.
Logo cada componente dá zero, isto é
Portanto
Passo 3
Procuramos
tal que
,
,
.
Integramos em
:
Integramos
Então
deve igualar
,
logo . Integramos em
:
logo
Por fim
implica
.
Concluímos que podemos escolher
Concluímos que podemos escolher
Passo 4
A curva
está em
e satisfaz
,
.
Isto é
.
Os extremos dessa semi-elipse ocorrem em , com
.
Portanto o ponto inicial é
e o final é
.
Adotamos a orientação que vai de a
.
Isto é
Os extremos dessa semi-elipse ocorrem em
Portanto o ponto inicial é
e o final é
Adotamos a orientação que vai de
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
Em
e
,
Logo
Portanto