Calcule a integral do campo vetorial F(x, y, z)=\left(y z+x^{2}, x z+3 y^{2}, x y\right) ao longo da curva C obtida como interseção da superfície \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1, z \geq 0, com o plano y=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\displaystyle \int_{C}F\cdot d\mathbf r
onde
F(x,y,z)=\bigl(yz+x^{2},\,xz+3y^{2},\,xy\bigr)
e C é a curva dada pela interseção da semi-elipsoide
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1,\quad z\ge0
com o plano y=1.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e o que vamos precisar é:
  1. Verificar se F é conservativo (curl zero).
  2. Encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=F.
  3. Determinar os pontos inicial e final de C.
  4. Usar o Teorema Fundamental das integrais de linha:
    \displaystyle \int_{C}F\cdot d\mathbf r=f(\mathbf r_{\rm fim})-f(\mathbf r_{\rm ini}).

Passo 2

Vamos checar se \nabla\times F=0.
\nabla\times F =\bigl(\partial_{y}R-\partial_{z}Q,\;\partial_{z}P-\partial_{x}R,\;\partial_{x}Q-\partial_{y}P\bigr).
Aqui
\partial_{y}R=\!x, \partial_{z}Q=\!x,
\partial_{z}P=\!y, \partial_{x}R=\!y,
\partial_{x}Q=\!z, \partial_{y}P=\!z.
Logo cada componente dá zero, isto é
\nabla\times F=0.
Portanto F é conservativo num domínio simples como \mathbb R^3.

Passo 3

Procuramos f(x,y,z) tal que
\partial f/\partial x=yz+x^{2},
\partial f/\partial y=xz+3y^{2},
\partial f/\partial z=xy.
Integramos \partial f/\partial x em x:
f(x,y,z)=\int(yz+x^{2})\,dx =xyz+\frac{x^{3}}{3}+g(y,z).
Então
\partial f/\partial y=xz+\partial g/\partial y deve igualar xz+3y^{2},
logo \partial g/\partial y=3y^{2}. Integramos em y:
g(y,z)=y^{3}+h(z).
Por fim \partial f/\partial z=xy+h'(z)=xy implica h'(z)=0.
Concluímos que podemos escolher
f(x,y,z)=xyz+\frac{x^{3}}{3}+y^{3}.

Passo 4

A curva C está em y=1 e satisfaz
\tfrac{x^{2}}{3}+1/4+z^{2}=1, z\ge0.
Isto é
\tfrac{x^{2}}{3}+z^{2}=\tfrac{3}{4}.
Os extremos dessa semi-elipse ocorrem em z=0, com
\tfrac{x^{2}}{3}=3/4\implies x^{2}=9/4\implies x=\pm\frac32.
Portanto o ponto inicial é
\mathbf r_{\rm ini}=(-\tfrac32,\,1,\,0)
e o final é
\mathbf r_{\rm fim}=(+\tfrac32,\,1,\,0).
Adotamos a orientação que vai de x=-3/2 a x=+3/2.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
\int_{C}F\cdot d\mathbf r =f\bigl(\mathbf r_{\rm fim}\bigr)-f\bigl(\mathbf r_{\rm ini}\bigr).
Em z=0 e y=1,
f(x,1,0)=x\cdot1\cdot0+\frac{x^{3}}{3}+1^{3} =\frac{x^{3}}{3}+1.
Logo
f\bigl(\tfrac32,1,0\bigr) =\frac{(\tfrac32)^{3}}{3}+1 =\frac{27/8}{3}+1 =\frac{27}{24}+1 =\frac{51}{24} =\frac{17}{8},
f\bigl(-\tfrac32,1,0\bigr) =\frac{(-\tfrac32)^{3}}{3}+1 =\frac{-27/8}{3}+1 =-\frac{27}{24}+1 =-\frac{3}{24} =-\frac{1}{8}.
Portanto
\int_{C}F\cdot d\mathbf r =\frac{17}{8}-\bigl(-\tfrac{1}{8}\bigr) =\frac{18}{8} =\frac{9}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{4}

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