43 Uma população estável de 35.000 pássaros vive em trûs ilhas. Cada ano,
da população da itla A migram para a ilha
da população da ilha B migram para a ilha
da população da itha C migram para a illa
. Denotemos por
e
, respectivamente, os números de pássaros nas illas
, no ano
antes da ocorrência da migraçẵo.
(a) Mostre que
c
(b) Supondo que
, e
existant, dê uma aproximação do súmero de pássaros em cada ilia após muitos anos.
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado descreve uma população de
pássaros distribuída em três ilhas
,
e
, com migrações anuais: da ilha
migra
para
, de
migra
para
e de
migra
para
. O conteúdo envolvido é sistema de recorrências lineares e cálculo do estado estacionário (limite quando
).
Passo 2
Para montar as recorrências usamos a ideia de que cada ilha retém parte da própria população e recebe migrantes de outra:
Em cada fórmula, o primeiro termo é quem fica na ilha e o segundo quem chega de outra ilha.
Passo 3
No estado estacionário definimos
,
,
e impomos ,
,
.
Da primeira equação segue
e impomos
Da primeira equação segue
Da segunda equação segue
Passo 4
Usamos a conservação da população total:
Resposta
Após muitos anos teremos aproximadamente
,
,
.