43 Uma população estável de 35.000 pássaros vive em trûs ilhas. Cada ano, 10 \% da população da itla A migram para a ilha \mathrm{B}, 20 \% da população da ilha B migram para a ilha \mathrm{Ce} 5 \% da população da itha C migram para a illa A. Denotemos por A_{n}, B_{n} e C_{n}, respectivamente, os números de pássaros nas illas \mathrm{A}, \mathrm{B} \mathrm{e} \mathrm{C}, no ano n antes da ocorrência da migraçẵo.
(a) Mostre que
\begin{aligned} & A_{n+1}=0,9 A_{n}+0,05 C_{n} \\\ & B_{n+1}=0,1 A_{n}+0,80 B_{n} \end{aligned}
c
C_{n+1}=0,95 C_{n}+0,20 B_{n}
(b) Supondo que \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n \rightarrow \infty} \operatorname{im}_{n \rightarrow \infty} B_{n}, e \lim _{n \rightarrow \infty} C_{n} existant, dê uma aproximação do súmero de pássaros em cada ilia após muitos anos.

Passo 1

O enunciado descreve uma população de 35\,000 pássaros distribuída em três ilhas A, B e C, com migrações anuais: da ilha A migra 10\% para B, de B migra 20\% para C e de C migra 5\% para A. O conteúdo envolvido é sistema de recorrências lineares e cálculo do estado estacionário (limite quando n\to\infty).

Passo 2

Para montar as recorrências usamos a ideia de que cada ilha retém parte da própria população e recebe migrantes de outra:
A_{n+1} = 0,9\,A_n + 0,05\,C_n
B_{n+1} = 0,1\,A_n + 0,80\,B_n
C_{n+1} = 0,20\,B_n + 0,95\,C_n
Em cada fórmula, o primeiro termo é quem fica na ilha e o segundo quem chega de outra ilha.

Passo 3

No estado estacionário definimos
\displaystyle A_\infty = L, \displaystyle B_\infty = M, \displaystyle C_\infty = N
e impomos L = 0,9L + 0,05N, M = 0,1L + 0,80M, N = 0,20M + 0,95N.
Da primeira equação segue
0,1\,L = 0,05\,N \quad\Longrightarrow\quad N = 2\,L.
Da segunda equação segue
0,2\,M = 0,1\,L \quad\Longrightarrow\quad M = 0,5\,L.

Passo 4

Usamos a conservação da população total:
L + M + N = 35\,000 \quad\Longrightarrow\quad L + 0,5\,L + 2\,L = 3,5\,L = 35\,000
L = 10\,000, \quad M = 0,5\cdot10\,000 = 5\,000, \quad N = 2\cdot10\,000 = 20\,000.

Resposta

Após muitos anos teremos aproximadamente
A_\infty = 10\,000,
B_\infty = 5\,000,
C_\infty = 20\,000.

Exercícios relacionados