Considere a região do plano
limitada pelas curvas
e
.
(a) Calcule a área da região
;
(b) Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região
em torno do eixo
;
(c) Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da regiāo
em torno do eixo
;
(a) Calcule a área da região
(b) Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região
(c) Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da regiāo
Passo 1
O enunciado pede a região
limitada pelas curvas
e
e requer (a) a área de
, (b) o volume de revolução de
em torno do eixo
e (c) o volume em torno do eixo
. Vamos usar integrais definidas, o método das chapas (washers) para o eixo
e o método dos cascos cilíndricos para o eixo
.
Passo 2
Para determinar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
Logo as interseções ocorrem em
e
.
Passo 3
A área de
é
Calculando,
Passo 4
Para o volume em torno do eixo
usamos washers com raio externo
e raio interno
:
Expandindo e integrando:
Portanto
Passo 5
Para o volume em torno do eixo
usamos o método dos cascos cilíndricos, em que cada casca a abscissa
tem raio
e altura
:
Calculando,
logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)