Considere a região do plano R limitada pelas curvas y=4 x-x^{2} e y=x.
(a) Calcule a área da região R;
(b) Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R em torno do eixo x;
(c) Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da regiāo R em torno do eixo y;

Passo 1

O enunciado pede a região R limitada pelas curvas
y = 4x - x^2
e
y = x,
e requer (a) a área de R, (b) o volume de revolução de R em torno do eixo x e (c) o volume em torno do eixo y. Vamos usar integrais definidas, o método das chapas (washers) para o eixo x e o método dos cascos cilíndricos para o eixo y.

Passo 2

Para determinar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
x = 4x - x^2
x^2 - 3x = 0
x(x - 3) = 0
Logo as interseções ocorrem em x = 0 e x = 3.

Passo 3

A área de R é
\text{Área} = \int_{0}^{3} \bigl[(4x - x^2) - x\bigr]\,dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2)\,dx.Á
Calculando,
\int_{0}^{3} (3x - x^2)\,dx = \left[\tfrac{3}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3\right]_{0}^{3} = \Bigl(\tfrac{3}{2}\cdot 9 - \tfrac{1}{3}\cdot 27\Bigr) = \tfrac{27}{2} - 9 = \tfrac{9}{2}.

Passo 4

Para o volume em torno do eixo x usamos washers com raio externo R_{\text{ext}} = 4x - x^2 e raio interno R_{\text{int}} = x:
V_x = \pi \int_{0}^{3} \Bigl[(4x - x^2)^2 - x^2\Bigr]\,dx.
Expandindo e integrando:
(4x - x^2)^2 - x^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4 - x^2 = 15x^2 - 8x^3 + x^4,
\int_{0}^{3} (15x^2 - 8x^3 + x^4)\,dx = \Bigl[5x^3 - 2x^4 + \tfrac{1}{5}x^5\Bigr]_{0}^{3} = \bigl(5\cdot27 - 2\cdot81 + \tfrac{1}{5}\cdot243\bigr) = 108/5.
Portanto
V_x = \frac{108\pi}{5}.

Passo 5

Para o volume em torno do eixo y usamos o método dos cascos cilíndricos, em que cada casca a abscissa x tem raio x e altura (4x - x^2) - x = 3x - x^2:
V_y = 2\pi \int_{0}^{3} x\,(3x - x^2)\,dx = 2\pi \int_{0}^{3} (3x^2 - x^3)\,dx.
Calculando,
\int_{0}^{3} (3x^2 - x^3)\,dx = \Bigl[x^3 - \tfrac{1}{4}x^4\Bigr]_{0}^{3} = \bigl(27 - \tfrac{81}{4}\bigr) = \tfrac{27}{4},
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V_y = 2\pi \cdot \frac{27}{4} = \frac{27\pi}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \tfrac{9}{2}
(b) \displaystyle \tfrac{108\pi}{5}
(c) \displaystyle \tfrac{27\pi}{2}

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