Calcule as seguintes integrais.
\int_{1}^{2} x^{2} \ln x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} x^{2}\,\ln x \,dx.
O método mais indicado é a integração por partes, que diz que
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções em partes assim:
u = \ln x e dv = x^{2}\,dx.
Então, calculamos
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes em \displaystyle \int_{1}^{2} x^{2}\ln x\,dx, obtemos
\int_{1}^{2} x^{2}\ln x\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\ln x\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Primeiro, o termo de borda é
\left[\frac{x^{3}}{3}\ln x\right]_{1}^{2} = \frac{2^{3}}{3}\ln 2 - \frac{1^{3}}{3}\ln 1 = \frac{8}{3}\ln 2 - 0 = \frac{8}{3}\ln 2.
O segundo integral simplifica-se a
\int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{3}\cdot\frac{8-1}{3} = \frac{7}{9}.

Passo 5

Juntando os dois resultados, conclui-se que
\int_{1}^{2} x^{2}\ln x\,dx = \frac{8}{3}\ln 2 \;-\;\frac{7}{9}.

Resposta

\int_{1}^{2} x^{2}\ln x\,dx = \frac{8}{3}\ln 2 - \frac{7}{9}.

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