Classifique a cônica: x^2-y^2+2 x+4 y- 1=0

Passo 1

O enunciado pede a classificação da cônica
x^2-y^2+2x+4y-1=0
Para isso vamos usar duas ideias: (1) o discriminante das curvas de segundo grau em x,y e (2) completar quadrados para identificar a forma padrão.

Passo 2

Calculemos o discriminante De<a = B^2-4AC da forma geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+dots=0
Aqui A=1, B=0, C=-1. Logo
De<a = 0^2-4cdot1cdot(-1)=4>0,
o que indica que a curva é uma hipérbole.

Passo 3

Agora completamos os quadrados em x e em y. Escrevemos
x^2+2x = (x+1)^2-1,
-y^2+4y = -l(y^2-4yr) = -l((y-2)^2-4r) = -(y-2)^2+4
Substituindo na equação original:
(x+1)^2-1 ;-;(y-2)^2+4;-;1 = 0 Longrightarrow (x+1)^2 - (y-2)^2 +2 = 0

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão:
(x+1)^2 - (y-2)^2 = -2 Long<=ftrightarrow (y-2)^22 ;-;(x+1)^22 = 1
Isso mostra uma hipérbole com centro em (-1,2), eixo transverso vertical e eixos paralelos aos eixos coordenados. Como os denominadores são iguais, é uma hipérbole retangular (ou equilátera).

Resposta

A curva é uma hipérbole retangular (equilátera) de centro (-1,2), com equação
(y-2)^22 - (x+1)^22 = 1

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