-43 No tubo de imagem de um velho aparelho de televisão os elétrons são acelerados por uma diferença de potencial de 25,0 kV . Qual é o comprimento de onda de de Broglie desses elétrons? (Não é necessário levar em conta efeitos relativísticos.)

Passo 1

O que o exercício pede: determinar o comprimento de onda de De Broglie dos elétrons que foram acelerados por uma diferença de potencial de \,25,0\\ \mathrm{kV}.\n
Informações dadas:
V = 25,0\\ \mathrm{kV} = 2,50\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
Condição adicional: não precisamos levar em conta efeitos relativísticos.

Passo 2

Princípio que vamos usar: a relação de De Broglie que liga comprimento de onda \lambda ao momento linear p de uma partícula:
\lambda = \frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula. Explicando as variáveis:
  • \lambda é o comprimento de onda de De Broglie (unidade: metro).
  • h é a constante de Planck (unidade: joule·segundo).
  • p é o momento linear, dado para uma partícula não relativística por p = m v (unidade: kg·m/s), onde m é a massa e v a velocidade.

Passo 3

Como obter o momento p: ao acelerar um elétron por uma diferença de potencial V, a energia cinética adquirida é igual à carga multiplicada por essa diferença de potencial:
K = eV,
onde e é a carga elementar. Para regime não relativístico temos também
K = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
Igualando as duas expressões e resolvendo para o momento p = m v obtemos:
eV = \tfrac{1}{2} m v^{2} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2 e V}{m}},
p = m v = m \sqrt{\frac{2 e V}{m}} = \sqrt{2 m e V}.
Portanto a fórmula prática que usaremos é
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m e V}}.
Aqui:
  • m é a massa do elétron,
  • e é a carga do elétron,
  • V é a diferença de potencial.

Passo 4

Lista dos valores numéricos (valores padrão CODATA, apresentados aqui para uso direto):
h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
m = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
E já temos V = 2,50\times10^{4}\\ \mathrm{V}. Vou calcular passo a passo os termos intermediários para você poder acompanhar sem pular etapas.

Passo 5

Calcular a energia eV:
eV = \left(1,602176634\times10^{-19}\right)\left(2,50\times10^{4}\right) = 4,005441585\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular 2 m e V:
2 m e V = 2\cdot\left(9,10938356\times10^{-31}\right)\cdot\left(4,005441585\times10^{-15}\right).
Multiplicando:
2 m e V = 7,29742105\times10^{-45}\\ (\text{unidades compatíveis}).í

Passo 7

Calcular o momento p (raiz quadrada do resultado anterior):
p = \sqrt{2 m e V} = \sqrt{7,29742105\times10^{-45}} \approx 8,546\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 8

Agora aplicar a relação de De Broglie \lambda = h/p:
\lambda = \frac{6,62607015\times10^{-34}}{8,546\times10^{-23}} \approx 7,756\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Arredondando para três algarismos significativos temos
\lambda \approx 7,76\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Verificação rápida da validade da aproximação não relativística (só para te deixar tranquilo): a energia cinética em joules é 4,005\times10^{-15}\\ \mathrm{J}. A energia de repouso do elétron é aproximadamente m c^{2}\approx 8,187\times10^{-14}\\ \mathrm{J}. A razão é cerca de
\frac{eV}{m c^{2}}\approx 0,049,
ou seja, aproximadamente 4,9\%. Isso mostra que os efeitos relativísticos são pequenos aqui e a aproximação não relativística é razoável para esta pergunta.

Resposta

\lambda = 7,76\times10^{-12}\\ \mathrm{m}

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