Calcule o comprimento de onda de de Broglie
de um nêutron de 1,00 \mathrm{keV}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento de onda de de Broglie de um nêutron cuja energia cinética é 1,00\\ \mathrm{keV}.
Dados fornecidos:
\,E = 1,00\\ \mathrm{keV}.

Passo 2

O que queremos encontrar é o comprimento de onda de de Broglie \lambda, que está relacionado ao momento linear p pela fórmula
\lambda=\frac{h}{p}.
Aqui h é a constante de Planck (unidade: \mathrm{J\cdot s}) e p é o momento do nêutron (unidade: \mathrm{kg\cdot m/s}). Esta é a definição básica de de Broglie: partícula com momento p comporta-se como uma onda de comprimento \lambda.

Passo 3

Para um nêutron não relativístico a energia cinética E e o momento p estão relacionados por
E=\frac{p^{2}}{2m},
onde m é a massa do nêutron. Dessa relação isolamos p:
p=\sqrt{2mE}.
Substituindo em \lambda=h/p obtemos a fórmula prática que usaremos:
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2mE}}.
Explico cada símbolo:
  • h: constante de Planck;
  • m: massa do nêutron;
  • E: energia cinética em joules;
  • \lambda: comprimento de onda procurado.

Passo 4

Antes de usar a fórmula, verificamos se podemos usar a aproximação não relativística. A condição é E\ll m c^{2}. A energia de repouso do nêutron é aproximadamente m c^{2}\approx 939{,}565\\ \mathrm{MeV}=9,39565\times 10^{8}\\ \mathrm{eV}. Como 1{,}00\\ \mathrm{keV}=10^{3}\\ \mathrm{eV}, temos
\frac{E}{m c^{2}}\approx\frac{10^{3}}{9{,}39565\times 10^{8}}\sim 1{,}06\times 10^{-6}\ll 1,
logo a aproximação não relativística é perfeitamente válida aqui.

Passo 5

Agora convertemos a energia para joules e colocamos os valores numéricos. Usaremos estes valores físicos:
h=6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
m_{n}=1{,}67492749804\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg},
1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
A energia em joules é
E=1{,}00\\ \mathrm{keV}=1000\\ \mathrm{eV}=1000\times 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}=1{,}602176634\times 10^{-16}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Substituímos na fórmula \lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2mE}} e calculamos passo a passo:
Primeiro calculemos 2mE:
2mE=2\times(1{,}67492749804\times 10^{-27})\times(1{,}602176634\times 10^{-16}) \approx 5{,}367058703\times 10^{-43}\\ (\mathrm{kg^{2}m^{2}/s^{2}}).
A raiz quadrada é
\sqrt{2mE}\approx \sqrt{5{,}367058703\times 10^{-43}}\approx 7{,}327\times 10^{-22}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora o comprimento de onda:
\lambda=\frac{6{,}62607015\times 10^{-34}}{7{,}327\times 10^{-22}} \approx 9{,}05\times 10^{-13}\\ \mathrm{m}.
Posso também dar em unidades menores: 9{,}05\times 10^{-13}\\ \mathrm{m}=0{,}905\\ \mathrm{pm} (picômetros) ou 9{,}05\times 10^{-3}\\ \text{\AA}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: esse comprimento de onda é muito pequeno (ordem do picômetro), o que faz sentido: partículas mais energéticas têm momentos maiores e, portanto, comprimentos de onda de de Broglie menores. Vai dar tudo certo na prova — lembre-se do passo chave: \lambda=h/\sqrt{2mE} (quando não relativístico) e faça a conversão de unidades com calma.

Resposta

9{,}05\times 10^{-13}\\ \mathrm{m}

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