-49 O comprimento de onda da linha amarela do sódio é 590 nm . Qual é a energia cinética de um elétron cujo comprimento de onda de de Broglie é igual ao comprimento de onda da linha amarela do sódio?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a energia cinética de um elétron cujo comprimento de onda de de Broglie é igual ao comprimento de onda da linha amarela do sódio, 590\\ \mathrm{nm}?”\n
Informações dadas e convenções que usaremos:
\lambda = 590\\ \mathrm{nm} = 590\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Valores físicos que vamos precisar (colocados em formato numérico):
h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}\quad\text{(constante de Planck)},
m_e = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\quad\text{(massa do elétron)},é
1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Conceito-chave: relação de de Broglie que liga comprimento de onda \lambda e o momento linear p de uma partícula:
\lambda = \frac{h}{p}.
Aqui \lambda é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear (ou quantidade de movimento). Dessa relação podemos isolar p:
p = \frac{h}{\lambda}.
Isso nos dá o momento do elétron a partir do comprimento de onda.

Passo 3

Calcular o momento p usando \;p=\dfrac{h}{\lambda}\;. Substituindo valores:
p = \frac{6,62607015\times10^{-34}}{590\times10^{-9}}\\ \mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-1}}.
Faço a divisão (mostrando o raciocínio das potências de 10):
\frac{10^{-34}}{10^{-9}}=10^{-25},
e numericamente
\frac{6,62607015}{590} \approx 1,1236.
Portanto
p \approx 1,1236\times10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m\cdot s^{-1}}.

Passo 4

Agora precisamos da energia cinética. Em regime não relativístico a relação entre energia cinética K e momento p é:
K = \frac{p^{2}}{2m_e}.
Antes de aplicar, verificamos se é permitido usar a fórmula não relativística calculando a velocidade típica v=p/m_e:
v=\frac{p}{m_e}\approx\frac{1,1236\times10^{-27}}{9,10938356\times10^{-31}}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Calculando:
v \approx 1,233\times10^{3}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Comparando com a velocidade da luz c\approx3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}, vemos que v\ll c. Logo o tratamento não relativístico é válido e podemos usar K=\dfrac{p^{2}}{2m_e}.

Passo 5

Calcular p^{2} e depois K:
p^{2} \approx (1,1236\times10^{-27})^{2} \approx 1,2624\times10^{-54}\\ \mathrm{kg^{2}\,m^{2}\,s^{-2}}.
2m_e = 2\times 9,10938356\times10^{-31} = 1,821876712\times10^{-30}\\ \mathrm{kg}.
Agora
K = \frac{1,2624\times10^{-54}}{1,821876712\times10^{-30}}\\ \mathrm{J}.
Fazendo a divisão das mantissas e das potências de 10:
\frac{1,2624}{1,821876712}\approx0,6933,
e 10^{-54}/10^{-30}=10^{-24}. Portanto
K \approx 0,6933\times10^{-24}\\ \mathrm{J} = 6,933\times10^{-25}\\ \mathrm{J}.
Arredondando com número razoável de algarismos significativos:
K \approx 6,93\times10^{-25}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Converter a energia para elétronvolts (unidade comum em física de partículas):
1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Logo
K = \frac{6,93\times10^{-25}}{1,602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}.
Calculando:
K \approx 4,33\times10^{-6}\\ \mathrm{eV}.

Resposta

\;6,93\times10^{-25}\\ \mathrm{J}\n
\;4,33\times10^{-6}\\ \mathrm{eV}

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