Calcule o comprimento de onda de de Broglie
de um elétron de 1,00 \mathrm{keV}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento de onda de de Broglie de um elétron cuja energia cinética é \,1{,}00\\ \mathrm{keV}.\n
Dados fornecidos:
\text{energia cinética }E_k = 1{,}00\\ \mathrm{keV}.é
Nenhuma outra informação foi dada explicitamente.

Passo 2

Escolha do método (sem complicar): a fórmula fundamental de de Broglie é
\lambda = \frac{h}{p},
onde \lambda é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula. Preciso converter a energia cinética em momento. Vou usar a relação clássica entre energia cinética e momento válida quando a velocidade é bem menor que a velocidade da luz. Para verificar se essa aproximação é válida, comparo a energia dada com a energia de repouso do elétron \,m_e c^2 (aprox. \,511\\ \mathrm{keV}). Como \,1{,}00\\ \mathrm{keV}\ll 511\\ \mathrm{keV}, posso usar a aproximação não-relativística com segurança (diferença relativística pequena).

Passo 3

Relação não-relativística entre energia cinética e momento:
E_k = \frac{p^2}{2m_e}.
Aqui:
  • \,E_k é a energia cinética (em joules);
  • \,p é o momento linear (em \mathrm{kg\cdot m/s});
  • \,m_e é a massa do elétron (em kg).
Desse resultado isolamos p:
p = \sqrt{2 m_e E_k}.

Passo 4

Substituindo p na fórmula de de Broglie obtemos a fórmula prática:
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_e E_k}}.
Agora vou usar valores numéricos: \
constante de Planck \;h = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \
massa do elétron \;m_e = 9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}, \
e carga elementar \;e = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C} (usada para converter eV \to J).

Passo 5

Converter \,E_k de \mathrm{keV} para joules:
E_k = 1{,}00\\ \mathrm{keV} = 1000\\ \mathrm{eV}.
Como 1\\ \mathrm{eV} = e = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}, temos
E_k = 1000 \times 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1{,}602176634\times 10^{-16}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular o termo dentro da raiz:
2 m_e E_k = 2 \times 9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}\times 1{,}602176634\times 10^{-16}\\ \mathrm{J}.
Faço a multiplicação numérica (mostrando os expoentes):
2 m_e E_k = 2{,}91896819902\times 10^{-46}\quad (\text{unidade } \mathrm{kg}^2\mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-2}).
Agora extraio a raiz quadrada para obter o momento:
p = \sqrt{2 m_e E_k} \approx 1{,}708\times 10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 7

Calcular \lambda:
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}}{1{,}708\times 10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}}.
Fazendo a divisão:
\lambda \approx 3{,}88\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Converter para unidades mais usuais: \,1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m} então
\lambda \approx 0{,}0388\\ \mathrm{nm} = 0{,}388\\ \text{\AA }.

Passo 8

Resumo físico e verificação rápida: o resultado está na ordem de 10^{-11}\\ \mathrm{m}, que é típico para elétrons com energia na ordem de \mathrm{keV}. A correção relativística para 1\\ \mathrm{keV} é pequena, então nosso método não-relativístico é adequado. Força e coragem — você já tem a fórmula pronta para aplicar a outros valores!

Resposta

\lambda = 3{,}88\times 10^{-11}\\ \mathrm{m} = 0{,}0388\\ \mathrm{nm}

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