432 (IME) Um cilindro contém oxigênio à pressão de 2 atmosferas e ocupa um volume de 3 litros à temperatura de 300 K . O gás, cujo comportamento é
considerado ideal, executa um ciclo termodinâmico através dos seguintes processos:
Processo 1-2: aquecimento à pressão constante até 500 K .
Processo 2 - 3: resfriamento à volume constante até 250 K .
Processo 3-4: resfriamento à pressão constante até 150 K .
Processo 4-1: aquecimento à volume constante até 300 K .

Passo 1

O enunciado dá um gás (oxigênio) considerado ideal num cilindro e descreve um ciclo com quatro processos. Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que vou calcular (assumindo as quantidades padrão que problemas desse tipo pedem):
  • Dados fornecidos:
    • Pressão inicial: \;p_1=2\\ \text{atm}.
    • Volume inicial: \;V_1=3\\ \text{L}.
    • Temperatura inicial: \;T_1=300\\ \text{K}.
    • Processo 1→2: aquecimento a pressão constante até \;T_2=500\\ \text{K}.
    • Processo 2→3: resfriamento a volume constante até \;T_3=250\\ \text{K}.
    • Processo 3→4: resfriamento a pressão constante até \;T_4=150\\ \text{K}.
    • Processo 4→1: aquecimento a volume constante até \;T_1=300\\ \text{K}.
  • Perguntas (vou resolver estas, que são as usuais nesse tipo de exercício):
    1. Determinar o número de mols n inicial.
    2. Calcular os volumes e pressões nos estados 2, 3 e 4 quando necessários.
    3. Para cada processo (1→2, 2→3, 3→4, 4→1): calcular o trabalho Q trocado com o meio, o trabalho W realizado pelo gás e a variação da energia interna \Delta U.
    4. Calcular os valores totais do ciclo: \Delta U_{\text{ciclo}}, W_{\text{líq}}í (trabalho líquido) e Q_{\text{líq}}í (calor líquido).
Observação: o gás é oxigênio (diatômico) e as temperaturas dadas (150–500 K) permitem tomar capacidades térmicas molares constantes aproximadas para um gás diatômico: \;C_V=\tfrac{5}{2}R e \;C_P=\tfrac{7}{2}R. Vou justificar e usar isso no passo seguinte.

Passo 2

Primeiro, calculo o número de mols n usando a equação dos gases ideais. Explico a fórmula:
  • Equação dos gases ideais: \;pV = nRT.
    • \;p é a pressão (em unidades compatíveis com R),
    • \;V é o volume,
    • \;n é o número de mols,
    • \;R é a constante universal dos gases,
    • \;T é a temperatura em kelvin.
Para encontrar n é só isolar: \;n = \dfrac{pV}{RT}.
Vou usar para este cálculo a forma de R em unidades \text{L·atm·mol}^{-1}\text{K}^{-1}, para manter pressão em atm e volume em L:
R = 0{,}082057\\ \text{L·atm·mol}^{-1}\text{K}^{-1}.
Então:
n = \dfrac{p_1 V_1}{R T_1}=\dfrac{(2\\ \text{atm})(3\\ \text{L})}{0{,}082057\cdot 300\\ \text{K}}.
Calculo numérico:
n \approx 0{,}2439\\ \text{mol}.
Explicação curta: agora conhecendo n posso usar as relações termodinâmicas com R em J/(mol·K) para obter energias em joules. Para cálculos de energia e trabalho uso R=8{,}314\\ \text{J·mol}^{-1}\text{K}^{-1}.
Também aproveito para obter volumes e pressões intermediários por proporcionalidade (leituras diretas das transformações):
  • Em processo isobárico (pressão constante) V\propto T.
  • Em processo isocórico (volume constante) p\propto T.
Logo:
V_2 = V_1\frac{T_2}{T_1} = 3\\ \text{L}\cdot\frac{500}{300}=5\\ \text{L}.
\text{No processo 2→3 (isochoric)},\;p_3 = p_2\frac{T_3}{T_2} = 2\\ \text{atm}\cdot\frac{250}{500}=1\\ \text{atm}.
V_4 = V_3\frac{T_4}{T_3} = 5\\ \text{L}\cdot\frac{150}{250}=3\\ \text{L}.
Observação: voltamos ao volume inicial V_4=3\\ \text{L}=V_1, coerente com o ciclo fechado.

Passo 3

Vou explicar as fórmulas úteis (aulas rápidas para cada conceito) que vou usar em cada processo:
  • Energia interna de um gás ideal (mono ou poliatômico) depende só da temperatura. Para n mols:
U = n C_V T,
onde \;C_V é a capacidade térmica molar a volume constante. Assim, a variação de energia interna entre dois estados é
\Delta U = n C_V \Delta T = n C_V (T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}).
  • Para um gás diatômico (como \text{O}_2), com aproximação de graus de liberdade ideais, temos f=5 graus de liberdade tranlacionais e rotações (vibrações desprezadas aqui), então
C_V = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R,\qquad C_P = C_V + R = \frac{7}{2}R.
Vou usar R=8{,}314\\ \text{J·mol}^{-1}\text{K}^{-1} para centrar energias em joules. Assim:
C_V = \tfrac{5}{2}R = 2{,}5\times 8{,}314 \approx 20{,}785\\ \text{J·mol}^{-1}\text{K}^{-1},
C_P = \tfrac{7}{2}R \approx 29{,}099\\ \text{J·mol}^{-1}\text{K}^{-1}.
  • Trabalho em processos:
    • Processo isobárico (pressão constante): \;W = p\Delta V. Usando a lei dos gases, p\Delta V = nR\Delta T. Se eu usar R em J/(mol·K) e n em mol, W sai em joules: W_{\text{isobárico}} = nR(T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}).á
    • Processo isocórico (volume constante): \;W=0.
  • Calor trocado Q:
    • Em isobárico: Q = n C_P \Delta T.
    • Em isocórico: Q = n C_V \Delta T.
  • Primeira lei da termodinâmica (conservação da energia):
\Delta U = Q - W \quad\Longrightarrow\quad Q = \Delta U + W.
Vou aplicar essas fórmulas a cada processo.

Passo 4

Processo 1→2 (isobárico, p constante, de T_1=300\\ \text{K} até T_2=500\\ \text{K}):
  • Variação de temperatura: \Delta T_{1\to2}=T_2-T_1=200\\ \text{K}.
  • Trabalho:
W_{1\to2}=nR\Delta T = 0{,}2439\cdot 8{,}314\cdot 200 \\ \text{J}.
Cálculo:
W_{1\to2}\approx 405{,}4\\ \text{J}.
  • Variação da energia interna:
\Delta U_{1\to2} = n C_V \Delta T = 0{,}2439\cdot 20{,}785\cdot 200 \\ \text{J}.
Cálculo:
\Delta U_{1\to2}\approx 1\,013{,}9\\ \text{J}.
  • Calor trocado:
Q_{1\to2} = n C_P \Delta T = 0{,}2439\cdot 29{,}099\cdot 200 \approx 1\,419{,}3\\ \text{J},
ou pela primeira lei Q=\Delta U+W, que dá o mesmo valor (pequenas diferenças numéricas por arredondamento).
Interpretação: o gás recebeu calor e realizou trabalho porque foi aquecido à pressão constante e seu volume cresceu.

Passo 5

Processo 2→3 (isocórico, V constante, de T_2=500\\ \text{K} até T_3=250\\ \text{K}):
  • Aqui W_{2\to3}=0 porque V constante.
  • Variação de temperatura: \Delta T_{2\to3}=T_3-T_2= -250\\ \text{K}.
  • Variação da energia interna:
\Delta U_{2\to3} = n C_V \Delta T = 0{,}2439\cdot 20{,}785\cdot (-250).
Cálculo:
\Delta U_{2\to3}\approx -1\,267{,}3\\ \text{J}.
  • Calor trocado:
Q_{2\to3} = \Delta U_{2\to3} \approx -1\,267{,}3\\ \text{J}.
Interpretação: o gás perdeu energia interna (esfriou) e não realizou trabalho (volume fixo), portanto retirou-se calor do gás.

Passo 6

Processo 3→4 (isobárico, p constante, de T_3=250\\ \text{K} até T_4=150\\ \text{K}):
  • Variação de temperatura: \Delta T_{3\to4}=T_4-T_3=-100\\ \text{K}.
  • Trabalho:
W_{3\to4}=nR\Delta T = 0{,}2439\cdot 8{,}314\cdot (-100).
Cálculo:
W_{3\to4}\approx -202{,}7\\ \text{J}.
(Negativo porque o trabalho é realizado sobre o gás — o gás é comprimido no processo isobárico de resfriamento.)
  • Variação da energia interna:
\Delta U_{3\to4}=nC_V\Delta T = 0{,}2439\cdot 20{,}785\cdot (-100) \approx -506{,}6\\ \text{J}.
  • Calor trocado:
Q_{3\to4} = nC_P\Delta T \approx -709{,}3\\ \text{J},
ou Q=\Delta U+W, que dá o mesmo dentro de arredondamento.
Interpretação: o gás perdeu calor e teve trabalho negativo (trabalho externo fez compressão), ambos contribuem para diminuir sua energia interna.

Passo 7

Processo 4→1 (isocórico, V constante, de T_4=150\\ \text{K} até T_1=300\\ \text{K}):
  • W_{4\to1}=0.
  • Variação de temperatura: \Delta T_{4\to1}=T_1-T_4=150\\ \text{K}.
  • Variação da energia interna:
\Delta U_{4\to1}=nC_V\Delta T = 0{,}2439\cdot 20{,}785\cdot 150 \approx 760{,}2\\ \text{J}.
  • Calor trocado:
Q_{4\to1} = \Delta U_{4\to1} \approx 760{,}2\\ \text{J}.
Interpretação: o gás recebe calor enquanto o volume está fixo, aumentando sua energia interna.

Passo 8

Agora somo as contribuições para obter os valores do ciclo inteiro e verifico a consistência com a primeira lei:
  • Soma das variações de energia interna:
\Delta U_{\text{ciclo}}=\Delta U_{1\to2}+\Delta U_{2\to3}+\Delta U_{3\to4}+\Delta U_{4\to1}.
Numericamente:
\Delta U_{\text{ciclo}}\approx 1\,013{,}9 -1\,267{,}3 -506{,}6 +760{,}2 \approx 0\\ \text{J}
(com pequenas diferenças por arredondamento). Isso confirma que, para um ciclo, \Delta U_{\text{ciclo}}=0.
  • Trabalho líquido do ciclo (soma dos trabalhos de cada processo):
W_{\text{líq}} = W_{1\to2}+W_{2\to3}+W_{3\to4}+W_{4\to1}.í
Numericamente:
W_{\text{líq}}\approx 405{,}4 + 0 -202{,}7 + 0 \approx 202{,}7\\ \text{J}.í
  • Calor líquido trocado no ciclo:
Q_{\text{líq}} = Q_{1\to2}+Q_{2\to3}+Q_{3\to4}+Q_{4\to1}.í
Numericamente:
Q_{\text{líq}}\approx 1\,419{,}3 -1\,267{,}3 -709{,}3 +760{,}2 \approx 202{,}9\\ \text{J}.í
Observe que Q_{\text{líq}}\approx W_{\text{líq}}íí e isso se conecta à primeira lei: \Delta U_{\text{ciclo}}=Q_{\text{líq}}-W_{\text{líq}}=0\Rightarrow Q_{\text{líq}}=W_{\text{líq}}íííí.

Resposta

Processo 1→2: Q_{1\to2}\approx 1\,419{,}3\\ \text{J},\;W_{1\to2}\approx 405{,}4\\ \text{J},\;\Delta U_{1\to2}\approx 1\,013{,}9\\ \text{J}.
\n
Processo 2→3: Q_{2\to3}\approx -1\,267{,}3\\ \text{J},\;W_{2\to3}=0\\ \text{J},\;\Delta U_{2\to3}\approx -1\,267{,}3\\ \text{J}.
\n
Processo 3→4: Q_{3\to4}\approx -709{,}3\\ \text{J},\;W_{3\to4}\approx -202{,}7\\ \text{J},\;\Delta U_{3\to4}\approx -506{,}6\\ \text{J}.
\n
Processo 4→1: Q_{4\to1}\approx 760{,}2\\ \text{J},\;W_{4\to1}=0\\ \text{J},\;\Delta U_{4\to1}\approx 760{,}2\\ \text{J}.
\n
Ciclo total: \Delta U_{\text{ciclo}}=0\\ \text{J (aprox.)},\;W_{\text{líq}}\approx 202{,}7\\ \text{J},\;Q_{\text{líq}}\approx 202{,}9\\ \text{J}.íí

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