432 (IME) Um cilindro contém oxigênio à pressão de 2 atmosferas e ocupa um volume de 3 litros à temperatura de 300 K . O gás, cujo comportamento é
considerado ideal, executa um ciclo termodinâmico através dos seguintes processos:
Processo 1-2: aquecimento à pressão constante até 500 K .
Processo 2 - 3: resfriamento à volume constante até 250 K .
Processo 3-4: resfriamento à pressão constante até 150 K .
Processo 4-1: aquecimento à volume constante até 300 K .
considerado ideal, executa um ciclo termodinâmico através dos seguintes processos:
Processo 2 - 3: resfriamento à volume constante até 250 K .
Processo 3-4: resfriamento à pressão constante até 150 K .
Processo 4-1: aquecimento à volume constante até 300 K .
Passo 1
O enunciado dá um gás (oxigênio) considerado ideal num cilindro e descreve um ciclo com quatro processos. Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que vou calcular (assumindo as quantidades padrão que problemas desse tipo pedem):
-
Dados fornecidos:
- Pressão inicial:
. - Volume inicial:
. - Temperatura inicial:
. - Processo 1→2: aquecimento a pressão constante até
. - Processo 2→3: resfriamento a volume constante até
. - Processo 3→4: resfriamento a pressão constante até
. - Processo 4→1: aquecimento a volume constante até
.
- Pressão inicial:
-
Perguntas (vou resolver estas, que são as usuais nesse tipo de exercício):
- Determinar o número de mols
inicial. - Calcular os volumes e pressões nos estados 2, 3 e 4 quando necessários.
- Para cada processo (1→2, 2→3, 3→4, 4→1): calcular o trabalho
trocado com o meio, o trabalho realizado pelo gás e a variação da energia interna . - Calcular os valores totais do ciclo:
, (trabalho líquido) e (calor líquido).
- Determinar o número de mols
Observação: o gás é oxigênio (diatômico) e as temperaturas dadas (150–500 K) permitem tomar capacidades térmicas molares constantes aproximadas para um gás diatômico:
e
. Vou justificar e usar isso no passo seguinte.
Passo 2
Primeiro, calculo o número de mols
usando a equação dos gases ideais. Explico a fórmula:
- Equação dos gases ideais:
. -
é a pressão (em unidades compatíveis com ), -
é o volume, -
é o número de mols, -
é a constante universal dos gases, -
é a temperatura em kelvin.
-
Para encontrar
é só isolar:
.
Vou usar para este cálculo a forma de
em unidades
, para manter pressão em atm e volume em L:
Então:
Calculo numérico:
Explicação curta: agora conhecendo
posso usar as relações termodinâmicas com
em J/(mol·K) para obter energias em joules. Para cálculos de energia e trabalho uso
.
Também aproveito para obter volumes e pressões intermediários por proporcionalidade (leituras diretas das transformações):
- Em processo isobárico (pressão constante)
. - Em processo isocórico (volume constante)
.
Logo:
Observação: voltamos ao volume inicial
, coerente com o ciclo fechado.
Passo 3
Vou explicar as fórmulas úteis (aulas rápidas para cada conceito) que vou usar em cada processo:
- Energia interna de um gás ideal (mono ou poliatômico) depende só da temperatura. Para n mols:
onde
é a capacidade térmica molar a volume constante. Assim, a variação de energia interna entre dois estados é
- Para um gás diatômico (como
), com aproximação de graus de liberdade ideais, temos graus de liberdade tranlacionais e rotações (vibrações desprezadas aqui), então
Vou usar
para centrar energias em joules. Assim:
- Trabalho em processos:
- Processo isobárico (pressão constante):
. Usando a lei dos gases, . Se eu usar em J/(mol·K) e em mol, sai em joules: - Processo isocórico (volume constante):
.
- Processo isobárico (pressão constante):
- Calor trocado
: - Em isobárico:
. - Em isocórico:
.
- Em isobárico:
- Primeira lei da termodinâmica (conservação da energia):
Vou aplicar essas fórmulas a cada processo.
Passo 4
Processo 1→2 (isobárico,
constante, de
até
):
- Variação de temperatura:
. - Trabalho:
Cálculo:
- Variação da energia interna:
Cálculo:
- Calor trocado:
ou pela primeira lei
, que dá o mesmo valor (pequenas diferenças numéricas por arredondamento).
Interpretação: o gás recebeu calor e realizou trabalho porque foi aquecido à pressão constante e seu volume cresceu.
Passo 5
Processo 2→3 (isocórico,
constante, de
até
):
- Aqui
porque constante. - Variação de temperatura:
. - Variação da energia interna:
Cálculo:
- Calor trocado:
Interpretação: o gás perdeu energia interna (esfriou) e não realizou trabalho (volume fixo), portanto retirou-se calor do gás.
Passo 6
Processo 3→4 (isobárico,
constante, de
até
):
- Variação de temperatura:
. - Trabalho:
Cálculo:
(Negativo porque o trabalho é realizado sobre o gás — o gás é comprimido no processo isobárico de resfriamento.)
- Variação da energia interna:
- Calor trocado:
ou
, que dá o mesmo dentro de arredondamento.
Interpretação: o gás perdeu calor e teve trabalho negativo (trabalho externo fez compressão), ambos contribuem para diminuir sua energia interna.
Passo 7
Processo 4→1 (isocórico,
constante, de
até
):
-
. - Variação de temperatura:
. - Variação da energia interna:
- Calor trocado:
Interpretação: o gás recebe calor enquanto o volume está fixo, aumentando sua energia interna.
Passo 8
Agora somo as contribuições para obter os valores do ciclo inteiro e verifico a consistência com a primeira lei:
- Soma das variações de energia interna:
Numericamente:
(com pequenas diferenças por arredondamento). Isso confirma que, para um ciclo,
.
- Trabalho líquido do ciclo (soma dos trabalhos de cada processo):
Numericamente:
- Calor líquido trocado no ciclo:
Numericamente:
Observe que
e isso se conecta à primeira lei:
.
Resposta
Processo 1→2:
\n
Processo 2→3:
\n
Processo 3→4:
\n
Processo 4→1:
\n
Ciclo total:
\n
Processo 2→3:
\n
Processo 3→4:
\n
Processo 4→1:
\n
Ciclo total: