434 (Unimep-SP) Uma máquina térmica, operando em ciclos, executa 10 ciclos por segundo. Em cada ciclo retira 800 J da fonte quente e cede 400 J para a fonte fria. Sabe-se que a máquina opera com a fonte fria a
. Com esses dados, afirma-se que o rendimento da máquina e a temperatura da fonte quente valem, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
- frequência de ciclos:
(ou seja, a máquina faz 10 ciclos a cada segundo). - calor retirado da fonte quente por ciclo:
. - calor cedido à fonte fria por ciclo:
. - temperatura da fonte fria:
.
O que o enunciado pede:
- o rendimento (eficiência) da máquina;
- a temperatura da fonte quente.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular o trabalho realizado por ciclo. A energia que sai da fonte quente se divide em trabalho produzido e em calor cedido à fonte fria. Logo:
Substituindo os números dados:
Aqui
é o trabalho por ciclo,
é o calor extraído da fonte quente por ciclo e
é o calor rejeitado por ciclo.
Passo 3
Agora a fórmula do rendimento (eficiência) de uma máquina térmica que opera em ciclos é a razão entre o trabalho útil e o calor extraído da fonte quente:
Usando a expressão de
acima também podemos escrever
porque
. Substituindo os valores:
Explicando de forma bem prática: de cada
que entram,
viram trabalho — portanto
vira trabalho.
Passo 4
Converter a temperatura da fonte fria para Kelvin (porque nas relações térmicas usamos Kelvin):
Aqui
é a temperatura absoluta (em Kelvin) da fonte fria.
Passo 5
Para achar a temperatura da fonte quente precisamos relacionar as trocas de calor com as temperaturas. Existe uma relação simples válida para máquinas térmicas ideais reversíveis (ciclo de Carnot):
Observação importante (e transparente): se a máquina não fosse reversível, essa relação não vale e a temperatura da fonte quente não seria determinada só pelos
's. Em questões de prova desse tipo, quando pedem a temperatura da fonte quente usando
,
e
, espera-se que a gente use a relação do ciclo reversível (Carnot). Por isso usamos essa relação aqui.
A partir daí podemos escrever o rendimento de um ciclo de Carnot como
Derivação rápida: substituir
em
.
Passo 6
Isolando
da fórmula
obtemos
Agora substituímos
e
:
Passo 7
Resumo dos cálculos importantes (já feitos nos passos anteriores): rendimento
e temperatura da fonte quente
. Esses valores coincidem com a alternativa correta da lista.
Resposta
b)
,