434 (Unimep-SP) Uma máquina térmica, operando em ciclos, executa 10 ciclos por segundo. Em cada ciclo retira 800 J da fonte quente e cede 400 J para a fonte fria. Sabe-se que a máquina opera com a fonte fria a 27^{\circ} \mathrm{C}. Com esses dados, afirma-se que o rendimento da máquina e a temperatura da fonte quente valem, respectivamente:
a) 60 \%, 500 \mathrm{~K}
b) 50 \%, 600 \mathrm{~K}
c) 40 \%, 700 \mathrm{~K}
d) 30 \%, 327 \mathrm{~K}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
  • frequência de ciclos: \,10\\ \mathrm{s}^{-1} (ou seja, a máquina faz 10 ciclos a cada segundo).
  • calor retirado da fonte quente por ciclo: \,Q_h = 800\\ \mathrm{J}.
  • calor cedido à fonte fria por ciclo: \,Q_c = 400\\ \mathrm{J}.
  • temperatura da fonte fria: \,27^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
  • o rendimento (eficiência) da máquina;
  • a temperatura da fonte quente.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o trabalho realizado por ciclo. A energia que sai da fonte quente se divide em trabalho produzido e em calor cedido à fonte fria. Logo:
W = Q_h - Q_c.
Substituindo os números dados:
W = 800 - 400 = 400\\ \mathrm{J}.
Aqui \,W é o trabalho por ciclo, \,Q_h é o calor extraído da fonte quente por ciclo e \,Q_c é o calor rejeitado por ciclo.

Passo 3

Agora a fórmula do rendimento (eficiência) de uma máquina térmica que opera em ciclos é a razão entre o trabalho útil e o calor extraído da fonte quente:
\eta = \frac{W}{Q_h}.
Usando a expressão de W acima também podemos escrever
\eta = 1 - \frac{Q_c}{Q_h},
porque W = Q_h - Q_c. Substituindo os valores:
\eta = \frac{400}{800} = 0{,}5 = 50\%.
Explicando de forma bem prática: de cada 800\\ \mathrm{J} que entram, 400\\ \mathrm{J} viram trabalho — portanto 50\% vira trabalho.

Passo 4

Converter a temperatura da fonte fria para Kelvin (porque nas relações térmicas usamos Kelvin):
T_c = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}.
Aqui \,T_c é a temperatura absoluta (em Kelvin) da fonte fria.

Passo 5

Para achar a temperatura da fonte quente precisamos relacionar as trocas de calor com as temperaturas. Existe uma relação simples válida para máquinas térmicas ideais reversíveis (ciclo de Carnot):
\frac{Q_c}{Q_h} = \frac{T_c}{T_h}.
Observação importante (e transparente): se a máquina não fosse reversível, essa relação não vale e a temperatura da fonte quente não seria determinada só pelos Q's. Em questões de prova desse tipo, quando pedem a temperatura da fonte quente usando Q_h, Q_c e T_c, espera-se que a gente use a relação do ciclo reversível (Carnot). Por isso usamos essa relação aqui.
A partir daí podemos escrever o rendimento de um ciclo de Carnot como
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Derivação rápida: substituir \dfrac{Q_c}{Q_h}=\dfrac{T_c}{T_h} em \eta=1-\dfrac{Q_c}{Q_h}.

Passo 6

Isolando T_h da fórmula \eta = 1 - \dfrac{T_c}{T_h} obtemos
T_h = \frac{T_c}{1 - \eta}.
Agora substituímos \,T_c = 300\\ \mathrm{K} e \,\eta = 0{,}5:
T_h = \frac{300}{1 - 0{,}5} = \frac{300}{0{,}5} = 600\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Resumo dos cálculos importantes (já feitos nos passos anteriores): rendimento \,50\% e temperatura da fonte quente \,600\\ \mathrm{K}. Esses valores coincidem com a alternativa correta da lista.

Resposta

b) 50\%, 600\\ \mathrm{K}

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