#44. (difícil) Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo ([Sp] p. 406 no.2): \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}\, n!}{n^{n}}
converge ou diverge.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O termo geral da série é a_n=\dfrac{2^{n}\, n!}{n^{n}}.
A série é a soma dos termos a_n para n=1,2,\dots.
Não estou supondo nada além do que o enunciado fornece.
Passo 2
Escolha do método: como o termo geral a_n contém fatoriais (n!) e potências (n^n), um teste que costuma funcionar bem é o teste da razão (teste de d’Alembert). Esse teste combina bem fatores que crescem por multiplicação (factorial) com potências, porque ao formar a razão a_{n+1}/a_n muitos fatores se simplificam. Vou usar o teste da razão por esse motivo.
Passo 3
Enunciado do teste da razão (explicado de forma simples): para uma série com termos positivos a_n>0, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1, a série converge absolutamente (portanto converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Vou aplicar esse teste ao nosso a_n.