#44. (difícil) Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo ([Sp] p. 406 no.2):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}\, n!}{n^{n}}
converge ou diverge.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{2^{n}\, n!}{n^{n}}.
  • A série é a soma dos termos a_n para n=1,2,\dots.
    Não estou supondo nada além do que o enunciado fornece.

Passo 2

Escolha do método: como o termo geral a_n contém fatoriais ( n!) e potências ( n^n), um teste que costuma funcionar bem é o teste da razão (teste de d’Alembert). Esse teste combina bem fatores que crescem por multiplicação (factorial) com potências, porque ao formar a razão a_{n+1}/a_n muitos fatores se simplificam. Vou usar o teste da razão por esse motivo.

Passo 3

Enunciado do teste da razão (explicado de forma simples): para uma série com termos positivos a_n>0, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (portanto converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Vou aplicar esse teste ao nosso a_n.

Passo 4

Escrevo os termos a_n e a_{n+1} explicitamente:
a_n=\frac{2^{n}\, n!}{n^{n}}, \qquad a_{n+1}=\frac{2^{\,n+1}\, (n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}.
Agora calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{\,n+1}\, (n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}} \cdot \frac{n^{n}}{2^{n}\, n!}.

Passo 5

Simplifico a expressão usando (n+1)!/n!=n+1 e cancelando 2^{n+1}/2^n=2:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =2\,(n+1)\,\frac{n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} =2\,\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} =2\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Reescrevo \dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}, então
\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.

Passo 6

Agora calculo o limite quando n\to\infty. Uso o limite clássico
\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m}\xrightarrow[m\to\infty]{}e^{x}.
Aplicando com x=-1 e m=n+1
\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}e^{-1}.
Como \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n}=\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}^{,\frac{n}{n+1}}) e \dfrac{n}{n+1}\to 1, segue que
\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}e^{-1}.
Portanto o limite da razão é
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\cdot e^{-1}=\frac{2}{e}.

Passo 7

Avalio numericamente e comparo com 1. Sabendo que e\approx 2,718\ldots, temos
\frac{2}{e}\approx 0{,}736\ldots <1.
Como no teste da razão L<1, concluímos que a série converge absolutamente (e portanto converge).

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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