Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
\sum \frac{\log n}{n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\log n}{n}.
  • Note que \log 1=0, então o primeiro termo é 0; para n\ge 2 os termos são positivos.
  • A pergunta é: a soma infinita dos a_n vale um número finito (converge) ou cresce sem limite (diverge)?

Passo 2

Escolhendo um método: vou usar o Teste da Integral (também chamado de critério integral). Rápida explicação do teste:
  • Seja f(x) uma função positiva, contínua e monotonicamente decrescente em [N,\infty).
  • Se a_n=f(n) para n\ge N, então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge.
    Aqui f será f(x)=\dfrac{\log x}{x}. Vou verificar as hipóteses do teste para f e então calcular a integral.

Passo 3

Verificação das hipóteses do Teste da Integral para f(x)=\dfrac{\log x}{x}:
  • Continuidade e positividade: para x>1 temos \log x>0, então f(x)>0 e f é contínua em (1,\infty). Logo para N=2 (ou N=\lceil e\rceil) a positividade e continuidade estão garantidas.
  • Monotonicidade (decrescente): calculo a derivada de f.
f'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\log x}{x}\right).
Usando a regra do quociente (ou produto), obtemos
f'(x)=\frac{1\cdot x - (\log x)\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}.
Como x^2>0 para x>0, o sinal de f'(x) é o sinal de 1-\log x. Para x>e (onde \log x>1) temos 1-\log x<0, ou seja, f'(x)<0 para x>e. Assim f é decrescente a partir de x>e. Isso basta para aplicar o Teste da Integral considerando a cauda da série (os primeiros termos não afetam convergência).

Passo 4

Calcular a integral imprópria
\int_{e}^{\infty}\frac{\log x}{x}\,dx.
Faço a substituição u=\log x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx, o que transforma a integral em
\int_{e}^{\infty}\frac{\log x}{x}\,dx=\int_{\log e}^{\lim_{b\to\infty}\log b} u\,du.
Como \log e=1 e \lim_{b\to\infty}\log b=\infty, isto é
\int_{e}^{\infty}\frac{\log x}{x}\,dx=\int_{1}^{\infty} u\,du.
Calculo a primitiva e o limite:
\int_{1}^{\infty} u\,du=\left[\frac{u^2}{2}\right]_{1}^{\infty}=\lim_{T\to\infty}\frac{T^2}{2}-\frac{1}{2}=\infty.
Portanto a integral diverge (vai ao infinito).

Passo 5

Conclusão pelo Teste da Integral: como f(x)=\dfrac{\log x}{x} é positiva, contínua e decrescente para x grande, e a integral \displaystyle\int_{e}^{\infty}\dfrac{\log x}{x}\,dx diverge, segue que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}
também diverge. (Obs.: a presença de alguns termos iniciais diferentes não altera essa conclusão sobre a série inteira.)

Passo 6

Comentário extra rápido (modo amigo): outra maneira curta é usar o teste de condensação de Cauchy—para a_n=\dfrac{\log n}{n} (monótona decrescente a partir de algum n) temos 2^k a_{2^k}=2^k\cdot\dfrac{\log(2^k)}{2^k}=k\log 2, e \sum k\log 2 diverge porque é uma série do tipo \sum k. Isso confirma a divergência. Mas a demonstração principal acima, via integral, já é suficiente.

Resposta

Diverge.

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