Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral é
. - Note que
, então o primeiro termo é ; para os termos são positivos. - A pergunta é: a soma infinita dos
vale um número finito (converge) ou cresce sem limite (diverge)?
Passo 2
Escolhendo um método: vou usar o Teste da Integral (também chamado de critério integral). Rápida explicação do teste:
- Seja
uma função positiva, contínua e monotonicamente decrescente em . - Se
para , então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge.
Aquiserá . Vou verificar as hipóteses do teste para e então calcular a integral.
Passo 3
Verificação das hipóteses do Teste da Integral para
:
- Continuidade e positividade: para
temos , então e é contínua em . Logo para (ou ) a positividade e continuidade estão garantidas. - Monotonicidade (decrescente): calculo a derivada de
.
Usando a regra do quociente (ou produto), obtemos
Como
para
, o sinal de
é o sinal de
. Para
(onde
) temos
, ou seja,
para
. Assim
é decrescente a partir de
. Isso basta para aplicar o Teste da Integral considerando a cauda da série (os primeiros termos não afetam convergência).
Passo 4
Calcular a integral imprópria
Faço a substituição
. Então
, o que transforma a integral em
Como
e
, isto é
Calculo a primitiva e o limite:
Portanto a integral diverge (vai ao infinito).
Passo 5
Conclusão pelo Teste da Integral: como
é positiva, contínua e decrescente para
grande, e a integral
diverge, segue que a série
também diverge. (Obs.: a presença de alguns termos iniciais diferentes não altera essa conclusão sobre a série inteira.)
Passo 6
Comentário extra rápido (modo amigo): outra maneira curta é usar o teste de condensação de Cauchy—para
(monótona decrescente a partir de algum
) temos
, e
diverge porque é uma série do tipo
. Isso confirma a divergência. Mas a demonstração principal acima, via integral, já é suficiente.
Resposta
Diverge.