(representação decimal) Seja a_{n} sequência de inteiros entre 0 e 9 . Prove que \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 10^{-n} existe (e está entre 0 e 1) ([Sp] p. 407 no.4(a)).

Passo 1

O enunciado dá uma sequência \{a_n\}_{n=1}^\infty de inteiros tais que, para todo n, a_n está entre 0 e 9 (isto é, a_n\in\{0,1,\dots,9\}). Pede para provar que a série (ou soma decimal)
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 10^{-n}
existe (ou seja, converge) e que o seu valor está entre 0 e 1.
Informações relevantes listadas:
  • Para todo n, \;0\le a_n\le 9.
  • Queremos mostrar que a soma infinita \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 10^{-n} converge e que seu limite satisfaz uma desigualdade entre 0 e 1.

Passo 2

Defino as somas parciais, que é a forma natural de estudar convergência de uma soma infinita. Seja, para N\ge 1,
s_N = \sum_{n=1}^N a_n 10^{-n}.
Explico por que isso é útil: a série \sum_{n=1}^\infty a_n 10^{-n} converge exatamente quando a sequência \{s_N\} de somas parciais converge (por definição de soma de série). Vou estudar \{s_N\}.

Passo 3

Mostro que \{s_N\} é uma sequência monótona não-decrescente (ou seja, crescente fraca). Como cada a_n\ge 0, para N+1 temos
s_{N+1} = s_N + a_{N+1}10^{-(N+1)} \ge s_N.
Portanto \{s_N\} é crescente (ou, ao menos, não decrescente). Assim a sequência tem um supremo bem definido em [0,+\infty]. Para concluir convergência precisamos apenas mostrar que \{s_N\} é limitada superiormente por algum número finito.

Passo 4

Faço uma comparação simples para obter uma cota superior: como a_n\le 9 para todo n, temos para todo N
s_N = \sum_{n=1}^N a_n 10^{-n} \le \sum_{n=1}^N 9\cdot 10^{-n} = 9 \sum_{n=1}^N 10^{-n}.
Agora uso a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica. Para r\neq 1,
\sum_{n=1}^N r^{n} = r\frac{1-r^{N}}{1-r}.
No nosso caso, r=\tfrac{1}{10}, portanto
\sum_{n=1}^N 10^{-n} = \frac{1}{10}\cdot\frac{1-(1/10)^N}{1-1/10}.
Calculando o denominador 1-1/10=9/10 e multiplicando, obtém-se (fazer as contas passo a passo):
\sum_{n=1}^N 10^{-n} = \frac{1}{10}\cdot\frac{1-(1/10)^N}{9/10} = \frac{1-(1/10)^N}{9}.
Multiplicando por 9 (lembre que tínhamos 9 fora da soma),
9\sum_{n=1}^N 10^{-n} = 1-(1/10)^N.
Logo para todo N obtemos a cota explícita
s_N \le 1-(1/10)^N < 1.

Passo 5

Resumo do que já temos e conclusão da convergência: \{s_N\} é crescente e para todo N satisfaz s_N \le 1-(1/10)^N < 1. Em particular \{s_N\} é limitada superiormente por 1. Um fato básico sobre sequências (que vale provar ou aceitar como teorema elementar) diz que: toda sequência monotônica crescente e limitada superiormente converge (o limite é o supremo). Aplicando esse fato, concluímos que \{s_N\} converge, isto é, a série \sum_{n=1}^\infty a_n 10^{-n} existe.

Passo 6

Faço a estimativa final do intervalo onde está o limite: como cada s_N\ge 0 (todas as parcelas são não-negativas), o limite s=\lim_{N\to\infty}s_N satisfaz s\ge 0. Pela desigualdade do Passo 4, passando ao limite N\to\infty no lado direito, (1/10)^N\to 0, então o majorante 1-(1/10)^N tende para 1. Assim o limite s satisfaz
0 \le s \le 1.
Observação didática: se todos os a_n=9 então s_N=1-(1/10)^N e o limite é exatamente 1 (caso limite alcança 1). Se, por exemplo, a_1=1 e os demais a_n=0, então a soma é 0,1 (isto é, 1/10). Isso ilustra que todos os valores no intervalo [0,1] podem aparecer como somas decimais (com as sutilezas conhecidas da representação decimal, por exemplo 0,999\ldots = 1).

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}10^{-n} converge e satisfaça \;0\le \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}10^{-n}\le 1.

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