(representação decimal) Seja
sequência de inteiros entre 0 e 9 . Prove que
existe (e está entre 0 e 1) ([Sp] p. 407 no.4(a)).
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
de inteiros tais que, para todo
,
está entre
e
(isto é,
). Pede para provar que a série (ou soma decimal)
existe (ou seja, converge) e que o seu valor está entre
e
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Para todo
, . - Queremos mostrar que a soma infinita
converge e que seu limite satisfaz uma desigualdade entre e .
Passo 2
Defino as somas parciais, que é a forma natural de estudar convergência de uma soma infinita. Seja, para
,
Explico por que isso é útil: a série
converge exatamente quando a sequência
de somas parciais converge (por definição de soma de série). Vou estudar
.
Passo 3
Mostro que
é uma sequência monótona não-decrescente (ou seja, crescente fraca). Como cada
, para
temos
Portanto
é crescente (ou, ao menos, não decrescente). Assim a sequência tem um supremo bem definido em
. Para concluir convergência precisamos apenas mostrar que
é limitada superiormente por algum número finito.
Passo 4
Faço uma comparação simples para obter uma cota superior: como
para todo
, temos para todo
Agora uso a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica. Para
,
No nosso caso,
, portanto
Calculando o denominador
e multiplicando, obtém-se (fazer as contas passo a passo):
Multiplicando por
(lembre que tínhamos
fora da soma),
Logo para todo
obtemos a cota explícita
Passo 5
Resumo do que já temos e conclusão da convergência:
é crescente e para todo
satisfaz
. Em particular
é limitada superiormente por
. Um fato básico sobre sequências (que vale provar ou aceitar como teorema elementar) diz que: toda sequência monotônica crescente e limitada superiormente converge (o limite é o supremo). Aplicando esse fato, concluímos que
converge, isto é, a série
existe.
Passo 6
Faço a estimativa final do intervalo onde está o limite: como cada
(todas as parcelas são não-negativas), o limite
satisfaz
. Pela desigualdade do Passo 4, passando ao limite
no lado direito,
, então o majorante
tende para
. Assim o limite
satisfaz
Observação didática: se todos os
então
e o limite é exatamente
(caso limite alcança 1). Se, por exemplo,
e os demais
, então a soma é
(isto é,
). Isso ilustra que todos os valores no intervalo
podem aparecer como somas decimais (com as sutilezas conhecidas da representação decimal, por exemplo
).